《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，点A，B在直线$l_{1}$上，点C，D在直线$l_{2}$上，$l_{1}// l_{2}$，$CA\perp l_{1}$，$BD\perp l_{2}$，$AC = 3cm$，则BD的长为(C)

A.$1cm$
B.$2cm$
C.$3cm$
D.$4cm$

答案： 1.C

2. 如图，在矩形ABCD中，$AB＞BC$，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中共有矩形(C)

A.$5$个
B.$8$个
C.$9$个
D.$11$个

答案： 2.C

3. 如图，O为菱形ABCD对角线的交点，$DE// AC$，$CE// BD$，连接OE。若$AC = 6$，$BD = 8$，则OE的长为(C)

A.$3$
B.$\sqrt{5}$
C.$5$
D.$6$

答案： 3.C

4. 如图，在矩形ABCD中，$AE = AF$，过点E作$EH\perp EF$交CD于点H，过点F作$FG\perp EF$交BC于点G，连接GH。当AD，AB满足AD=AB时，四边形EFGH为矩形。

答案： 4.AD=AB

5. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，$PG\perp BC$，$PH\perp CD$，垂足分别为G，H，连接GH。若$AB = 8$，$AD = 6$，$EF = 6$，则GH长的最小值是7。

答案： 5.7

6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O。
（1）若M，N是BD上两点，且$BM = DN$，$AC = 2OM$，求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若$\angle BAD = 120^{\circ}$，$CD = 3$，$AB\perp AC$，求$□ ABCD$的面积。

答案： 6.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC，$OB=OD.
∵对角线BD上的两点M，N满足BM=DN，
∴OB - BM=OD - DN，即OM=ON.
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵AC=2OM，MN=OM+ON=2OM，
∴MN=AC.
∴四边形AMCN是矩形
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3.
∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°.
∴∠BCA=30°.
∴BC=2AB=6.
∴在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=3\sqrt{3}.$
∴易得□ABCD的面积$=AC·AB=3\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$

7. （2023·晋中寿阳段考）如图，在$□ ABCD$中，BE平分$\angle ABC$，CE平分$\angle BCD$，$BF// CE$，$CF// BE$。
（1）求证：四边形BECF是矩形；
（2）若$\angle ABC = 60^{\circ}$，$BC = 6$，求四边形BECF的周长。

答案： 7.
(1)
∵BF//CE，CF//BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴$∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC，$$∠ECB=\frac{1}{2}∠BCD.$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴$∠EBC+∠ECB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BCD)=90°.$
∴∠BEC=90°.四边形BECF是矩形
(2)
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°.由
(1)，可知∠BEC=90°.
∴$CE=\frac{1}{2}BC=3.$
∴在Rt△BEC中，$BE=\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=3\sqrt{3}.$
∵四边形BECF是矩形，
∴$BE=CF=3\sqrt{3}，$BF=CE=3.
∴四边形BECF的周长$=2(BE+CE)=6\sqrt{3}+6$

8. 如图，在四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作$Rt\triangle ACE$，连接BE，DE，$BE\perp DE$，AC，BD互相平分。若$2AB = BC = 4$，则BD的长为(A)

A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$4$

答案： 8.A