《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + m = 0$（$m\lt0$）.
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为 $-1$，求 $m$ 的值和方程的另一个根.

答案： 15.
(1)方程有两个不相等的实数根 理由：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1× m=4-4m$.$\because m＜0$，$\therefore 4-4m＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because -1$是方程的一个根，$\therefore (-1)^{2}-2×(-1)+m=0$，$\therefore m=-3$.设方程的另一个根为$x_{2}$，$\because -1+x_{2}=2$，$\therefore x_{2}=3$，$\therefore m$的值为$-3$，方程的另一个根为3

16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 3)x^{2}-6x + 8 = 0$.
（1）若方程的一个根为 $x = - 1$，求 $a$ 的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数 $a$ 的值；
（3）请为 $a$ 选择一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根.

答案： 16.
(1)$\because$方程$(a-3)x^{2}-6x+8=0$的一个根为$x=-1$，$\therefore a-3+6+8=0$，解得$a=-11$
(2)$\because$关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^{2}-6x+8=0$有实数根，$\therefore \Delta\geq0$，且$a\neq3$，$\therefore \Delta=36-32(a-3)\geq0$，解得$a\leq\frac{33}{8}$，$\because a$是正整数，且$a\neq3$，$\therefore a=1$或2或4
(3)选择不唯一，如选择$a=4$ 当$a=4$时，方程$x^{2}-6x+8=0$，$\therefore (x-2)(x-4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$

17. 设 $\triangle ABC$ 的三边长为 $a$，$b$，$c$，其中 $a$，$b$ 是方程 $x^{2}-(c + 2)x + 2(c + 1) = 0$ 的两个实数根.
（1）判断 $\triangle ABC$ 是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，求 $a$，$b$，$c$ 的值.

答案： 17.
(1)$\triangle ABC$是直角三角形 理由：根据题意，得$a+b=c+2$，$ab=2(c+1)=2c+2$，$\therefore (a+b)^{2}=(c+2)^{2}$，即$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+4c+4$，$\therefore a^{2}+4c+4+b^{2}=c^{2}+4c+4$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\therefore \triangle ABC$是以$c$为斜边的直角三角形.
(2)由
(1)，知$\triangle ABC$是以$c$为斜边的直角三角形，又$\because \triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore a=b$，$\therefore$易得$c=\sqrt{2}a$，$\because a+b=c+2$，$\therefore a+a=\sqrt{2}a+2$，解得$a=2+\sqrt{2}$，$\therefore b=2+\sqrt{2}$，$c=2+2\sqrt{2}$