《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

6. 如图所示为凸透镜成像的示意图,CD 是蜡烛 AB 通过凸透镜 MN 所成的虚像.已知蜡烛的高 AB 为 5.4 cm,蜡烛 AB 离凸透镜 MN 的水平距离 OB 为 6 cm,该凸透镜的焦距 OF 为 10 cm,AE//OF,则像 CD 的高为(C)

A.15 cm
B.14.4 cm
C.13.5 cm
D.9 cm

答案： 6. C

7. 如图,小华站在楼 AB 的底端 A 处,眺望楼 CD 的顶端 D,发现视线 MD 与水平线 ME 的夹角为 α;然后小华保持身体姿势不变转身后退,当退到点 F 处时,发现视线 BE 与水平线 EM 的夹角也为 α.已知 F 恰好为 AC 的中点,点 M 在 AB 上,AB⊥AC,CD⊥AC,EF⊥AC,EM⊥AB,楼 AB 的高度为 7 米,小华眼睛距离地面的高度 EF = MA = 1.5 米,根据以上数据,计算出大楼 CD 的高度为12.5米.

答案：
7. 12.5 解析：如图，设ME的延长线交CD于点N. 根据题意，可得AM = EF = CN = 1.5 米, AM//EF//CN, 从而可得E是MN的中点, 进而可得ME = EN = $\frac{1}{2}$MN. 再根据已知可求出BM的长, 然后证明△BME∽△DNM, 从而利用相似三角形可求出DN的长, 最后利用线段的和差关系进行计算, 可求大楼CD的高度.

8. (2023·晋城沁水期末)小军想用镜子测量一棵古松树的高度,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他利用镜子进行两次测量.如图,第一次他把镜子放在点 C 处,他在点 F 处正好在镜中看到树尖 A;第二次他把镜子放在点 C'处,他在点 F'处正好在镜中看到树尖 A.已知 AB⊥BF',EF⊥BF',E'F'⊥BF',小军的眼睛距地面 1.7 m(即 EF = E'F' = 1.7 m),量得 CC' = 12 m,CF = 1.8 m,C'F' = 4.2 m.求这棵古松树的高度 AB(镜子大小、厚度忽略不计).
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答案： 8.
∵ 由题意, 得∠ABC = ∠EFC = 90°, ∠ACB = ∠ECF,
∴ △ABC∽△EFC.
∴ $\frac{AB}{EF}=\frac{CB}{CF}$.
∵ 由题意, 得∠ABC′ = ∠E′F′C′ = 90°, ∠AC′B = ∠E′C′F′,
∴ △ABC′∽△E′F′C′.
∴ $\frac{AB}{E'F'}=\frac{C'B}{C'F'}$.
∵ EF = E′F′ = 1.7 m,
∴ $\frac{CB}{CF}=\frac{C'B}{C'F'}$.
∵ CC′ = 12 m, CF = 1.8 m, C′F′ = 4.2 m, C′B = CC′ + CB,
∴ BC = 9 m.
∵ $\frac{AB}{EF}=\frac{CB}{CF}$,
∴ AB = 8.5 m.
∴ 这棵古松树的高度AB为8.5 m

9. 小明和同学想利用标杆测量大楼的高度 CD.如图,小明站立在地面上的点 F 处,他的同学在点 B 处竖立标杆 AB,使得小明的头顶 E,标杆顶端 A,楼顶 C 在同一条直线上(点 F,B,D 也在同一条直线上).已知小明的身高 EF = 1.5 m,标杆 AB = 2.5 m,BD = 23 m,BF = 2 m.
(1) 求大楼的高度 CD;
(2) 小明站在原来的位置,同学通过移动标杆,可以用同样的方法测得大楼 CD 上的点 G 的高度 GD = 11.5 m,则相对于第一次测量,标杆 AB 应该向大楼方向移动多少米?
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答案：
9.
(1) 如图①, 过点E作EH⊥CD于点H, 交AB于点J, 则易得四边形EFBJ和四边形EFDH都是矩形.
∴ EF = BJ = DH = 1.5 m, BF = EJ = 2 m, EH = DF = BF + BD = 2 + 23 = 25(m).
∵ AB = 2.5 m,
∴ AJ = AB - BJ = 2.5 - 1.5 = 1(m).
∵ AJ // CH,
∴ ∠EAJ = ∠ECH, ∠EJA = ∠EHC.
∴ △EAJ∽△ECH.
∴ $\frac{AJ}{CH}=\frac{EJ}{EH}$.
∴ CH = 12.5 m.
∴ CD = CH + DH = 12.5 + 1.5 = 14(m).
∴ 大楼的高度CD为14 m
(2) 如图②, 过点E作ET⊥CD于点T, 交AB于点R. 设BF = x m, 则易得EF = RB = TD = 1.5 m, AR = 1 m, GT = GD - TD = 10 m, ER = BF = x m, ET = FD = 25 m.
∵ AR // GT,
∴ ∠EAR = ∠EGT, ∠ERA = ∠ETG.
∴ △EAR∽△EGT.
∴ $\frac{AR}{GT}=\frac{ER}{ET}$.
∴ $\frac{1}{10}=\frac{x}{25}$, 解得x = 2.5.
∴ ER = 2.5 m.
∴ 2.5 - 2 = 0.5(m).
∴ 标杆AB应该向大楼方向移动0.5 m