《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

9. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点，$CE$，$DF$交于点$G$，连接$AG$。下列结论中，不正确的是(C)

A.$CE = DF$
B.$CE\perp DF$
C.$AE = EG$
D.$AG = AD$

答案： 9.C

10. 如图，$G$是正方形$ABCD$的对角线$CA$的延长线上任意一点，以线段$AG$为边作一个正方形$AEFG$，线段$EB$和$GD$相交于点$H$。若$AB = 2$，$AG = \sqrt{2}$，则$EB$的长为$\sqrt{10}$。

答案：
10.$\sqrt{10}$ 解析：如图，连接BD，交AC于点O.在△GAD和△EAB中，易得∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB.从而证△GAD≌△EAB，得EB=GD.由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB的长，再得到OD，OG的长.利用勾股定理，可求得EB=GD=$\sqrt{OG^{2}+OD^{2}}$=$\sqrt{10}$

11. ($2023·$晋中灵石段考)如图，正方形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AE$平分$\angle BAC$交$BD$于点$E$。若$OA = 1$，则$BE$的长为2 - $\sqrt{2}$。

答案： 11.2 - $\sqrt{2}$

12. （$2023·$绍兴）如图，在正方形$ABCD$中，$G$是对角线$BD$上的一点（不与点$B$，$D$重合），$GE\perp CD$，$GF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$，连接$EF$，$AG$，并延长$AG$交$EF$于点$H$。
（1）求证：$\angle DAG = \angle EGH$；
（2）判断$AH$与$EF$是否垂直，并说明理由。

答案： 12.
(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE=∠GEC=90°.
∴AD//GE.
∴∠DAG=∠EGH
(2)AH⊥EF 理由：连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD.又
∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG.
∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中，∠ECF=90°，又
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴易得四边形FCEG为矩形.
∴OE=OC.
∴∠OEC=∠OCE.
∴∠DAG=∠OEC.由
(1)，得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC.
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°.
∴∠GHE=90°.
∴AH⊥EF.

13. （$2022·$遵义）将正方形$ABCD$和菱形$EFGH$按照如图所示的方式摆放，顶点$D$与顶点$H$重合，菱形$EFGH$的对角线$HF$经过点$B$，点$E$，$G$分别在边$AB$，$BC$上。
（1）求证：$\triangle ADE\cong\triangle CDG$；
（2）若$AE = BE = 2$，求$BF$的长。

答案：
13.
(1)
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADB=∠CDB，∠EHB=∠GHB.
∴∠ADB - ∠EHB=∠CDB - ∠GHB，即∠ADE=∠CDG.在△ADE和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，ED=GD，
∴△ADE≌△CDG
(2)如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD=AB=AE+BE=2+2=4，∠EBQ=∠CBD=45°.
∴∠QEB=45°=∠EBQ.
∴EQ=BQ.
∵BE=2，
∴由勾股定理易得EQ=BQ=$\sqrt{2}$.在Rt△DAE中，由勾股定理，得DE=$\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF=DE=2$\sqrt{5}$.
∴在Rt△EFQ中，由勾股定理，得QF=$\sqrt{EF^{2}-EQ^{2}}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$=3$\sqrt{2}$.
∴BF=QF - BQ=3$\sqrt{2}$ - $\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$