《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

7. 用配方法解下列方程时，配方错误的是(B)

A.$x^{2}+2x - 1 = 0$ 化为 $(x + 1)^{2}=2$
B.$3x^{2}-4x - 2 = 0$ 化为 $(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{2}{9}$
C.$x^{2}-2x - 8 = 0$ 化为 $(x - 1)^{2}=9$
D.$2x^{2}-7x - 4 = 0$ 化为 $(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$

答案： 7. B

8. 已知 $a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}=2a - b - 2$，则 $3a-\frac{1}{2}b$ 的值为(A)

A.4
B.2
C.-2
D.-4

答案： 8. A

9. 小明用配方法解关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-ax + b = 0$ 时，得到 $x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}$，则 $a=$6，$b=$−3。

答案： 9. 6，−3

10. 把方程 $2x^{2}-6x + p = 0$ 配方，得到 $(x + m)^{2}=\frac{1}{2}$。求：
（1）常数 $p$ 与 $m$ 的值；
（2）此方程的根。

答案： 10.
(1) $\because(x+m)^{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore x^{2}+2mx+m^{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore x^{2}+2mx+m^{2}-\frac{1}{2}=0$，$\therefore2x^{2}+4mx+2m^{2}-1=0$。根据题意，得$4m=-6$，$2m^{2}-1=p$，解得$m=-\frac{3}{2}$，$p=\frac{7}{2}$。
(2) 由
(1)，得原方程配方后为$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$

11. （教材 $P_{40}$ 习题2.4第3题变式）如图，甲、乙两人分别从正方形花坛 $ABCD$ 的顶点 $B$，$C$ 同时出发，甲由点 $B$ 向点 $C$ 运动，乙由点 $C$ 向点 $D$ 运动，甲的速度为 $2m/min$，乙的速度为 $1m/min$，当一方运动到终点时，另一方随即停止运动。若正方形花坛的边长为 $10m$，求多久后两人相距 $2\sqrt{10}m$。

答案：
11. 根据题意，设$x$ min后两人相距$2\sqrt{10}$ m，$0\leq x\leq5$。如图，设此时甲运动到点$E$，乙运动到点$F$，连接$EF$，则$FC=x$ m，$EC=(10 - 2x)$ m。由题意，易得$\angle C = 90^{\circ}$。$\therefore$在$Rt\triangle EFC$中，由勾股定理，得$FC^{2}+EC^{2}=EF^{2}$，即$x^{2}+(10 - 2x)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 6$（不合题意，舍去）。$\therefore2$ min后两人相距$2\sqrt{10}$ m

12. 先仔细阅读材料，再解决问题：
通过对实数的学习，我们知道 $x^{2}\geq0$，根据完全平方公式：$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab + b^{2}$，可得完全平方式的值为非负数。这一性质在数学中有着广泛的应用，比如求多项式 $2x^{2}+8x - 3$ 的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式 $=2(x^{2}+4x)-3 = 2(x^{2}+2×2x + 2^{2}-2^{2})-3 = 2(x + 2)^{2}-11$。
$\because2(x + 2)^{2}\geq0$，
$\therefore2(x + 2)^{2}-11\geq-11$。
$\therefore$ 当 $x=-2$ 时，$2(x + 2)^{2}-11$ 取得最小值，为 $-11$。
请根据上面的解题思路，求：
（1）多项式 $3x^{2}-6x + 2$ 的最小值；
（2）多项式 $4 - x^{2}+2x$ 的最大值；
（3）多项式 $x^{2}+2x + y^{2}-4y + 9$ 的最小值。

答案： 12.
(1) 原式$=3(x^{2}-2x)+2=3(x^{2}-2x+1 - 1)+2=3(x - 1)^{2}-1$。$\because3(x - 1)^{2}\geq0$，$\therefore3(x - 1)^{2}-1\geq-1$。$\therefore$当$x = 1$时，$3x^{2}-6x + 2$取得最小值，为$-1$。
(2) 原式$=-(x^{2}-2x)+4=-(x^{2}-2x+1 - 1)+4=-(x - 1)^{2}+5$。$\because-(x - 1)^{2}\leq0$，$\therefore-(x - 1)^{2}+5\leq5$。$\therefore$当$x = 1$时，$4 - x^{2}+2x$取得最大值，为$5$。
(3) 原式$=(x^{2}+2x)+(y^{2}-4y)+9=(x^{2}+2x+1 - 1)+(y^{2}-4y+4 - 4)+9=(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}+4$。$\because(x + 1)^{2}\geq0$，$(y - 2)^{2}\geq0$，$\therefore$当$(x + 1)^{2}=0$，$(y - 2)^{2}=0$，即$x = -1$，$y = 2$时，$x^{2}+2x+y^{2}-4y + 9$取得最小值，为$4$