《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

9. 如图，在$\triangle ABC$中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，$BE\perp DF$，交DF的延长线于点E。若$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 2$，$AF = BF$，则四边形BCDE的面积是(A)

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4$
D.$4\sqrt{3}$

答案： 9.A

10. 如图，BE，BF分别是$\angle ABC$，$\angle ABD$的平分线，$AE\perp BE$，垂足为E，$AF\perp BF$，垂足为F，连接EF，分别交AB，AC于点M，N。若$AB = 7$，$BC = 4$，则$MF + NE$的值为5。

答案： 10.5

11. （2023·大庆）如图，在$□ ABCD$中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，$\angle ACF = 90^{\circ}$。
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若$CD = 13$，$CF = 5$，求四边形ABCE的面积。

答案： 11.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.
∵E为线段CD的中点，
∴DE=CE.
∴△ADE≌△FCE.
∴AE=FE.
∴四边形ACFD是平行四边形.
∵∠ACF=90°，
∴四边形ACFD是矩形
(2)
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD=90°，AC=DF.
∵CD=13，CF=5，
∴在Rt△CDF中，$DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.$
∴AC=DF=12.
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积=△FCE的面积.
∵易得△FCE的面积$=\frac{1}{2}×△ACF$的面积$=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×5×12=15，$
∴△ADE的面积为15.
∵易得BC=CF=5，∠ACF=90°，
∴AC为□ABCD的边BC上的高.
∴□ABCD的面积=5×12=60.
∴四边形ABCE的面积=□ABCD的面积-△ADE的面积=60 - 15=45

12. 如图，在矩形ABCD中，$AB = 2$，$BC = 5$，点E，P分别在边AD，BC上，且$DE = BP = 1$，AP，BE交于点H，CE，DP交于点F。
（1）判断$\triangle BEC$的形状，并说明理由。
（2）四边形EFPH是什么特殊四边形？请给出证明。
（3）求四边形EFPH的面积。

答案： 12.
(1)△BEC是直角三角形 理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2.
∵DE=1，
∴AE=AD - DE=5 - 1=4.在Rt△CDE中，根据勾股定理，得$CE=\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.$在Rt△ABE中，根据勾股定理，得$BE=\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}.$
∴$CE^{2}+BE^{2}=BC^{2}.$
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC=90°.
(2)四边形EFPH是矩形
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC.
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形.
∴BE//DP.
∵AD=BC，DE=BP，
∴AD - DE=BC - BP，即AE=CP.
∵AE//CP，
∴四边形AECP是平行四边形.
∴AP//CE.
∵BE//DP，
∴四边形EFPH是平行四边形.由
(1)，得∠BEC=90°，
∴四边形EFPH是矩形
(3)
∵四边形EFPH是矩形，
∴∠EFP=90°.
∴∠CFP=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°.
∴$S△CPD=\frac{1}{2}PD·CF=\frac{1}{2}PC·CD.$
∵BC=5，BP=1，
∴PC=BC - BP=4.在Rt△CPD中，根据勾股定理，得$PD=\sqrt{PC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}.$
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×CF=\frac{1}{2}×4×2.$
∴$CF=\frac{4\sqrt{5}}{5}.$由
(1)，知$CE=\sqrt{5}，$
∴$EF=CE - CF=\sqrt{5}-\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$在Rt△PCF中，根据勾股定理，得$PF=\sqrt{PC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$
∴S四边形$EFPH=EF·PF=\frac{8}{5}$