《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

9. 如图，用七支长度相同的铅笔，摆成一个菱形 $ABCD$ 和一个等边三角形 $DEF$，使得点 $E$，$F$ 分别在 $AB$ 和 $BC$ 上，则 $\angle B$ 的度数为(B)

A.$105^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$95^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 9.B

10. (2023·太原期中)如图，菱形 $OABC$ 的边长为 $3$，若顶点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$，则第一象限内的顶点 $C$ 的坐标为(A)

A.$(\sqrt{5},2)$
B.$(\sqrt{5},4)$
C.$(\sqrt{13},2)$
D.$(\frac{5}{2},2)$

答案： 10.A

11. (2022·太原模拟)如图，在菱形 $ABCD$ 中，按如下步骤作图：①分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}CD$ 长为半径作弧，两弧交于点 $M$，$N$；②作直线 $MN$，与边 $CD$ 交于点 $E$，连接 $BE$. 若 $AD = 8$，直线 $MN$ 恰好经过点 $A$，则 $BE$ 的长为4√7.

答案： 11.4$\sqrt 7$

12. (2022·铜仁)如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$\angle ABC = 80^{\circ}$，延长 $BC$ 到点 $E$，在 $\angle DCE$ 的内部作射线 $CM$，使得 $\angle ECM = 30^{\circ}$，过点 $D$ 作 $DF\perp CM$，垂足为 $F$，连接 $BD$. 若 $DF = \sqrt{6}$，则 $BD$ 的长为2√6(结果保留根号).

答案： 12.2$\sqrt 6$

13. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $D$ 作对角线 $BD$ 的垂线，交 $BA$ 的延长线于点 $E$.
（1）求证：四边形 $ACDE$ 是平行四边形；
（2）若 $AC = 8$，$BD = 6$，求 $\triangle BDE$ 的周长.

答案： 13.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD,AC⊥BD.
∴AE//CD,∠AOB=90°.
∵DE⊥BD,
∴∠EDB=90°.
∴∠AOB=∠EDB.
∴DE//AC.
∴四边形ACDE是平行四边形
(2)
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC=8.在Rt△BDE中,根据勾股定理，得BE=√(BD² + DE²)=√(6² + 8²)=10.
∴△BDE的周长为BD+BE+DE=6+10+8=24

14. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$F$ 是线段 $BC$ 上任意一点，连接 $AF$，交对角线 $BD$ 于点 $E$，连接 $CE$.
（1）求证：$AE = CE$.
（2）当 $\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle CEF = 60^{\circ}$ 时，点 $F$ 在线段 $BC$ 的什么位置？请说明理由.

答案： 14.
(1)连接AC.
∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE=CE
(2)点F在线段BC的中点处　理由:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC.又
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.
∵AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=∠CEF=60°,
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CEF=30°.
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∴AF是等边三角形ABC的角平分线.
∴AF是等边三角形ABC的边BC上的中线.
∴点F在线段BC的中点处