《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

8. 将两块全等的含$30^{\circ}$角的三角尺按如图①所示的方式摆放在一起，设较短直角边的长为1。如图②，将$Rt\triangle BCD$沿射线$BD$方向平移，得到$Rt\triangle B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$，连接$BC^{\prime}$，$AD^{\prime}$。在平移的过程中，当点$B$的移动距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边形$ABC^{\prime}D^{\prime}$为矩形。

答案： 8. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 解析：当四边形$ABC'D'$是矩形时，$\angle ABC' = 90^{\circ}$。又
$\because \angle ABD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle B'BC' = \angle ABC' - \angle ABD = 60^{\circ}$。易得
$\triangle BB'C'$是直角三角形，且$\angle BB'C' = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BC'B' = 30^{\circ}$。
$\therefore BC' = 2BB'$。$\because B'C' = 1$，$\therefore$结合勾股定理，易得$BB' = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore$当点$B$的移动距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边形$ABC'D'$为矩形。

9. （2022·巴中）如图，在$□ ABCD$中，$E$为$BC$的中点，连接$AE$并延长，交$DC$的延长线于点$F$，延长$EC$至点$G$，使$CG=CE$，连接$DG$，$DE$，$FG$。
（1）求证：$\triangle ABE\cong\triangle FCE$；
（2）若$AD=2AB$，求证：四边形$DEFG$是矩形。

答案： 9.
(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$。
$\therefore \angle EAB = \angle EFC$。$\because E$为$BC$的中点，$\therefore EB = EC$。在
$\triangle ABE$和$\triangle FCE$中，$\because \angle EAB = \angle EFC$，$\angle BEA = \angle CEF$，
$EB = EC$，$\therefore \triangle ABE \cong \triangle FCE$
(2)$\because \triangle ABE \cong \triangle FCE$，
$\therefore AB = FC$。$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB = DC$，
$AD = BC$。$\therefore DC = FC$。又$\because CG = CE$，$\therefore$四边形$DEFG$是平行四边形。$\because CE = BE$，$CG = CE$，$\therefore BE = CE = CG$。$\therefore BC = EG$。
$\because AD = BC = EG = 2AB$，$DF = DC + FC = 2DC = 2AB$，
$\therefore EG = DF$。$\therefore$四边形$DEFG$是矩形

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$O$是边$AC$上的一个动点，过点$O$作直线$EF// BC$，分别与$\angle ACB$，$\triangle ABC$的外角$\angle ACD$的平分线交于点$E$，$F$，连接$AE$，$AF$。
（1）若$CE=8$，$CF=6$，求$OC$的长。
（2）当点$O$在边$AC$上运动到什么位置时，四边形$AECF$是矩形？请说明理由。

答案： 10.
(1)$\because EF$与$\angle ACB$的平分线交于点$E$，与$\angle ACD$的平分
线交于点$F$，$\therefore \angle OCE = \angle BCE$，$\angle OCF = \angle DCF$。$\because EF// BC$，$\therefore \angle OEC = \angle BCE$，$\angle OFC = \angle DCF$。$\therefore \angle OEC = \angle OCE$，$\angle OFC = \angle OCF$。$\therefore OE = OC$，$OF = OC$。$\therefore OE = OF$，
即$O$是$EF$的中点。$\because \angle OCE + \angle BCE + \angle OCF + \angle DCF =$
$180^{\circ}$，$\therefore \angle ECF = \angle OCE + \angle OCF = \frac{1}{2}(\angle ACB + \angle ACD) =$
$90^{\circ}$。$\because CE = 8$，$CF = 6$，$\therefore$在$Rt\triangle CEF$中，根据勾股定理，得
$EF = \sqrt{CE^{2} + CF^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$。$\therefore OC = OE = \frac{1}{2}EF = 5$。
(2)当点$O$在边$AC$上运动到$AC$的中点处时，四边形$AECF$
是矩形 理由：当点$O$在边$AC$上运动到$AC$的中点处时，
$OA = OC$。$\because OE = OF$，$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形。由
(1)，得$\angle ECF = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$AECF$是矩形。