《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，$ \angle ADE = \angle ACB $，$ BD = 8 $，$ CE = 4 $，$ CF = 2 $，求 $ DF $ 的长.

答案： 1.
∵∠ADE = ∠ACB，∠ADE = ∠B + ∠DFB，∠ACB = ∠E + ∠CFE，∠DFB = ∠CFE，
∴∠B = ∠E。
∴△DFB ∽ △CFE。
∴$\frac{BD}{EC} = \frac{DF}{CF}$。
∵BD = 8，CE = 4，CF = 2，
∴DF = 4

2. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，点 $ E $ 在对角线 $ BD $ 上，且 $ BE = 3 $，连接 $ AE $ 并延长，交 $ DC $ 于点 $ F $，求 $ DF $ 的长.

答案： 2.
∵四边形ABCD是矩形，BC = 4，
∴AB//CD，∠BAD = 90°，AD = BC = 4。
∵AB = 3，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
∵BE = 3，
∴DE = BD - BE = 5 - 3 = 2。
∵DF//AB，
∴易得△DEF ∽ △BEA。
∴$\frac{DE}{BE} = \frac{DF}{BA}$。
∴DF = 2

3. (2023·恩施)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ DE // BC $，分别交 $ AC $，$ AB $ 于点 $ D $，$ E $，$ EF // AC $，交 $ BC $ 于点 $ F $. 若 $ \frac{AE}{BE} = \frac{2}{5} $，$ BF = 8 $，则 $ DE $ 的长为(A)

A.$ \frac{16}{5} $
B.$ \frac{16}{7} $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 3.A

4. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，点 $ D $ 在边 $ AC $ 上，过点 $ D $ 作 $ DE \perp AC $，交 $ BC $ 于点 $ E $.
（1）求证：$ \triangle CDE \sim \triangle CBA $；
（2）若 $ AB = 3 $，$ AC = 5 $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点，求 $ DE $ 的长.

答案： 4.
(1)
∵DE⊥AC，∠B = 90°，
∴∠CDE = ∠B = 90°。
∵∠C = ∠C，
∴△CDE ∽ △CBA。
(2)
∵在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3，AC = 5，
∴$BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = 4$。
∵E是BC的中点，
∴$CE = \frac{1}{2}BC = 2$。
∵由
(1)，知△CDE ∽ △CBA，
∴$\frac{DE}{BA} = \frac{CE}{CA}$。
∴$DE = \frac{6}{5}$