《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 两个实数根的积为$-4$的方程可能是(C)

A.$3x^{2}+4x - 4 = 0$
B.$3x^{2}-4x - 4 = 0$
C.$x^{2}+2x - 4 = 0$
D.$2x^{2}-5x + 4 = 0$

答案： 1.C

2. 已知关于$x$的方程$x^{2}+mx - n = 0$的两个根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，且满足$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=-3$，则$m + n$的值为(A)

A.$1$
B.$-4$
C.$4$
D.$-1$

答案： 2.A

3. (教材$P51$习题$2.8$第$3$题变式)($2022$·运城夏县段考)若关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-kx + 12 = 0$的一个根$x_{1}=2$，则方程的另一个根$x_{2}$和$k$的值分别为(A)

A.$3$，$10$
B.$-3$，$-10$
C.$3$，$-10$
D.$-3$，$10$

答案： 3.A

4. 若一元二次方程$x^{2}+3x - m = 0$的两根之和是两根之积的$2$倍，则$m$的值为(B)

A.$3$
B.$\frac{3}{2}$
C.$-3$
D.$-\frac{3}{2}$

答案： 4.B

5. 设$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-x - 3 = 0$的两个实数根，则$2x_{1}+2x_{2}-x_{1}x_{2}$的值是(C)

A.$-7$
B.$1$
C.$5$
D.$6$

答案： 5.C

6. 已知关于$x$的方程$2x^{2}+bx + c = 0$的根为$x_{1}=-2$，$x_{2}=3$，则$b + c$的值是-14.

答案： 6.-14

7. ($2023$·宜宾)若关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 1)x + m + 4 = 0$的两根的倒数和为$1$，则$m$的值为2.

答案： 7.2

8. ($2023$·岳阳)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$，则实数$m$的值为3.

答案： 8.3 解析：利用根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -2m$，$x_1x_2 = m^2 - m + 2$，$\because x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，$\therefore -2m + m^2 - m + 2 = 2$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = 3$。$\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta = (2m)^2 - 4 × 1 × (m^2 - m + 2) ＞ 0$，解得$m ＞ 2$。$\therefore m = 3$。

9. （$2023$·襄阳）关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若方程的两个根为$\alpha$，$\beta$，且$k^{2}=\alpha\beta + 3k$，求$k$的值.

答案： 9.
(1)由题意，得$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × (3 - k) = -8 + 4k$，$\because$方程有两个不相等的实数根，$\therefore -8 + 4k ＞ 0$，解得$k ＞ 2$
(2)$\because$方程的两个根为$\alpha$，$\beta$，$\therefore \alpha\beta = \frac{c}{a} = 3 - k$。$\therefore k^2 = 3 - k + 3k$，解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。由
(1)，知$k ＞ 2$，$\therefore k$的值为3

10. 已知方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，求下列代数式的值.
（1）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
（2）$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$；
（3）$(x_{1}-x_{2})^{2}$.

答案： 10.$\because$方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = -1$。
(1)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-3)^2 - 2 × (-1) = 9 + 2 = 11$
(2)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{11}{-1} = -11$
(3)$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-3)^2 - 4 × (-1) = 9 + 4 = 13$