《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2023·深圳)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 4$，$BC = 6$，将线段$AB$向右平移$a$个单位长度得到线段$FE$。若四边形$ECDF$为菱形，则$a$的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1. B

2. (2023·太原杏花岭期中)如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AO = CO$，$BO = DO$。添加下列一个条件，其中，不能判定四边形$ABCD$是菱形的为(B)

A.$AB = AD$
B.$AC = BD$
C.$AC\perp BD$
D.$\angle ABO = \angle CBO$

答案： 2. B

3. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$，$F$，$G$，$H$分别是$OA$，$OB$，$OC$，$OD$的中点。若要使四边形$EFGH$成为菱形，则$□ ABCD$应满足的条件是答案不唯一，如AB=AD(写出一个即可)。
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答案： 3. 答案不唯一，如AB=AD

4. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，点$M$，$N$分别在$AB$，$AD$上，且$AM = AN$，$BM = DN$，$MG// AD$，$NF// AB$。点$F$，$G$分别在$BC$，$CD$上，$MG$与$NF$相交于点$E$，则图中的菱形共有3个。

答案： 4. 3

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$BD\perp AC$，垂足为$E$，$F$为四边形$ABCD$外一点，$DA$平分$\angle BDF$，$\angle ADF = \angle BAD$，$AF\perp AC$。求证：四边形$ABDF$是菱形。

答案： 5.
∵ BD⊥AC，AF⊥AC，
∴ AF//BD.
∵ ∠BAD = ∠ADF，
∴ AB//FD.
∴ 四边形ABDF是平行四边形.
∵ DA平分 ∠BDF，
∴ ∠BDA = ∠FDA.
∴ ∠BDA = ∠BAD.
∴ AB = BD.
∴ 四边形ABDF是菱形

6. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$作$AC$的垂线，分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$，连接$AF$，$CE$。求证：四边形$AFCE$是菱形。

答案： 6.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA = OC.
∴ ∠OAE = ∠OCF，∠AEO = ∠CFO.在△AOE和△COF中，
$\begin{cases} ∠OAE = ∠OCF \\ ∠AEO = ∠CFO \\ AO = CO \end{cases}$
∴ △AOE ≌ △COF.
∴ AE = CF. 又OA = OC，
∵ AE//CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形

7. (2023·沈阳)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是边$BC$上的中线，点$E$在$DA$的延长线上，连接$BE$，过点$C$作$CF// BE$，交$AD$的延长线于点$F$，连接$BF$，$CE$。求证：四边形$BECF$是菱形。
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答案： 7.
∵ AB = AC，AD是边BC上的中线，
∴ AD垂直平分BC.
∴ EB = EC，FB = FC.
∵ CF//BE，
∴ ∠BED = ∠CFD， ∠EBD = ∠FCD.
∵ 易知DB = DC，
∴ △EBD ≌ △FCD.
∴ BE = CF.
∴ EB = BF = FC = EC.
∴ 四边形BECF是菱形