《2025年聚能闯关期末复习冲刺卷七年级数学上册浙教版》

2. (6分) 化简下列各式：
(1) $3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)$；
(2) $x^2 - 7x - 2 - (-2x^2 + 4x - 1)$。

答案： 解：
(1)原式$=6x^{2} - 3y^{2} - 6y^{2} + 4x^{2}$
$=10x^{2} - 9y^{2}。$
(2)原式$=x^{2} - 7x - 2 + 2x^{2} - 4x + 1$
$=3x^{2} - 11x - 1。$

3. (6分) 已知正数$a$的两个平方根分别是$2x - 3$和$1 - x$，且$\sqrt[3]{1 + 2b}$与$\sqrt[3]{3b - 5}$相等，求$a + 2b$的算术平方根。

答案： 解：
∵正数a的两个平方根分别是2x - 3和1 - x，
∴2x - 3 + (1 - x)=0。
∴x = 2。
∴$a=(1 - x)^{2}=(1 - 2)^{2}=1。$
∵$\sqrt[3]{1 + 2b}$与$\sqrt[3]{3b - 5}$相等，
∴1 + 2b = 3b - 5。
∴b = 6。
∴a + 2b=1 + 2×6=13。
∴a + 2b的算术平方根是$\sqrt{13}。$

4. (8分) 如图所示：
(1) 用含有$a$，$b$的式子表示阴影部分的面积；
(2) 当$a = 3$，$b = 2$时，阴影部分的面积为多少？

答案： 解：$(1)S_{阴影}=a(a + b) - \frac{\pi a^{2}}{4} - \frac{\pi b^{2}}{4}。$
(2)当a = 3，b = 2时，$S_{阴影}=3×(3 + 2) - \frac{\pi×3^{2}}{4} - \frac{\pi×2^{2}}{4}=15 - \frac{13\pi}{4}。$

5. (8分) 小王在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入$a$，加*键，再输入$b$，得到运算：$a * b = a^2 - b^2 - [2(a^3 - 1) - \frac{1}{b}] ÷ (a - b)$。
(1) 求$(-2) * \frac{1}{2}$的值；
(2) 小王在运用此程序计算时，屏幕显示 “该程序无法操作”，你猜他在输入数据时，可能出现了什么情况？为什么？

答案： 解：$(1)(-2)*\frac{1}{2}=(-2)^{2} - (\frac{1}{2})^{2} - 2[(-2)^{2} - 1] - \frac{1}{2}÷(-2 - \frac{1}{2})=-\frac{17}{4}。$
(2)在操作中b和a - b出现在分母的位置上，若分母为0，则该程序无法操作，即b = 0或a = b。