《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

10. 如图是一个数值转换器，当输入$x$的值为$81$时，则输出$y$的值是$\sqrt{3}$.

答案： 10.$\sqrt{3}$

11. 已知$m$为整数，且$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{5}$，则$m$的值为2.

答案： 11.2

12. 如图，在数轴上表示实数$\sqrt{11}$的点可能是点Q.

答案： 12.点Q

13. 已知一个正方形的面积为$8$，那么与它的边长最接近的整数是3.

答案： 13.3

14. 若$\sqrt{13}$的整数部分是$a$，$\sqrt{7}$的小数部分是$b$，则$a-b$的值为5−$\sqrt{7}$.

答案： 14.5−$\sqrt{7}$

15. 数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为$1$个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点$A$，此时点$A$表示的数是π.

答案： 15.π

16. 如图，这是单位长度为$1$的$3×4$的正方形网格，请用无刻度的直尺在下列两个正方形网格中选择三个格点，依次连接，使之构成直角三角形.要求所画的三角形三边的长度都是无理数，两个图形不重复.

答案：
16.解：当边长为1×3格对角线时，即DF=$\sqrt{1^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{10}$，另外两条边为1×2格对角线，边长为DE=EF=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$，DE²+EF²=DF²，如图所示：

当AB=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{10}$，AB²+AC²=BC²，如图所示：

17. 在数轴上作出$\sqrt{8}$对应的点.(不写作法，保留作图痕迹)

答案：
17.解：在数轴上作出$\sqrt{8}$对应的点，即点C如图所示.

18.【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为$1$的有理数；反之为无理数.例如，$\sqrt{2}$不能表示为两个互质(没有相同的因数)的整数的商，所以$\sqrt{2}$是无理数.可以这样证明：
解：设$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$，$a$与$b$是互质的两个整数，且$b\neq0$，
则$2=\frac{a^2}{b^2}$，即$a^2=$ ①.
$\because b$是整数且不为$0$，
$\therefore a$是$2$的倍数.
设$a=2n$($n$是整数，且$n\neq0$)，
则$a^2=4n^2$，
$\therefore b^2=$ ②，
$\therefore b$也是$2$的倍数，与$a,b$是互质的整数矛盾，
$\therefore\sqrt{2}$是无理数.
【解决问题】
(1)写出①,②表示的代数式，使证明过程完整.
①2b²；②2n².
(2)证明：$\sqrt{3}$是无理数.

答案： 18.
(1)解：设$\sqrt{2}$=$\frac{a}{b}$，a与b是互质的两个整数，且b≠0，
则2=$\frac{a^{2}}{b^{2}}$，
即a²=2b².
因为b是整数且不为0，
所以a是不为0的偶数.
设a=2n(n是整数，且n≠0)，
则a²=4n²，
所以b²=2n²，
所以b也是偶数，与a,b是互质的整数矛盾，
所以$\sqrt{2}$是无理数.
故答案为：2b²，2n².
(2)设$\sqrt{3}$=$\frac{a}{b}$，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则3=$\frac{a^{2}}{b^{2}}$，
所以a²=3b².
∵a,b是整数且不为0，
∴a为3的倍数.
设a=3n(n是整数)，
∴b²=3n²，
∴b也是3的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，
∴$\sqrt{3}$是无理数.