《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

12. 如图，点$E$是正方形$ABCD$的边$CD$上一点，点$F$是$CB$的延长线上一点，且$AE \perp AF$，请判断$DE$与$BF$的大小关系，并说明理由.

答案： 12.解：DE=BF，理由如下：
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD，
所以∠DAE+∠BAE=90°.
因为AE⊥AF，
所以∠BAF+∠BAE=90°，
所以∠DAE=∠BAF.
因为∠ABF=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
所以在△ADE和△ABF中，
{∠ADE=∠ABF,
AD=AB,
∠DAE=∠BAF,
所以△ADE≌△ABF，
所以DE=BF.

13. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$AB = AC$，延长$AB$到点$D$，使$BD = AB$，延长$AC$到点$E$，使$CE = AC$，连接$CD$，$BE$，证明：$CD = BE$.

答案： 13.证明：因为AB=AC，BD=AB，CE=AC，
所以AB+BD=AC+CE，所以AD=AE.
在△ADC和△AEB中，
AD=AE，∠CAD=∠BAE，AC=AB，
所以△ADC≌△AEB，所以CD=BE.

14. 工人师傅要检查“人”字梁的$\angle B$和$\angle C$是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺. 他是这样操作的：①分别在$BA$和$CA$上取$BE = CG$；②在$BC$上取$BD = CF$；③量出$DE$的长$a$米，$FG$的长$b$米. 如果$a = b$，则说明$\angle B$和$\angle C$是相等的. 他的这种做法合理吗？为什么？

答案： 14.合理.证明：在△BDE和△CFG中，
{BD=CF,
{BE=CG,
DE=FG,
所以△BDE≌△CFG，
所以∠B=∠C.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CE$是$\triangle ABC$的高，在$BD$上取一点$P$，使$BP = AC$，在$CE$的延长线上取一点$Q$，使$CQ = AB$，连接$AQ$，$AP$.
(1)试判断$\triangle ABP$和$\triangle QCA$是否全等，并说明理由；
(2)试猜想$AQ$与$AP$的大小关系和位置关系，并说明理由.

答案： 15.解：
(1)△ABP和△QCA全等.理由如下：
∵BD,CE是△ABC的高，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACQ+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACQ.
又
∵BP=AC,AB=CQ，
∴△ABP≌△QCA(SAS).
(2)猜想：AQ=AP,AQ⊥AP.理由如下：
由
(1)得△ABP≌△QCA
∴AQ=AP,∠Q=∠BAP.
又
∵∠QAB+∠Q=90°，
∴∠QAB+∠BAP=90°,即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ.