《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

例题1 若等腰三角形的一个外角为$70^{\circ}$，则它的底角为.

答案： 分析：等腰三角形的一个外角是$70^{\circ}$，这个外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，因此本题目要针对这两种情况进行分类解答.
解：
(1)若这个角是顶角的外角，则底角为$\frac{70^{\circ}}{2}=35^{\circ}$.
(2)若这个角是底角的外角，则底角为$180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$.
底角是$110^{\circ}$的等腰三角形不存在，所以它的底角只能是$35^{\circ}$.
点拨：本题很容易忽视这个外角可能出现两种情况. 再如，如果已知一个等腰三角形的一个角的度数，求其他角时，也要将这个角分为底角和顶角两种情况进行解答.

例题2 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，过$BC$上一点$D$作$BC$的垂线，交$BA$的延长线于点$P$，交$AC$于点$Q$. 判断$\triangle APQ$的形状，并说明理由.

答案：
分析：本题可以通过等腰三角形的性质、对顶角相等等知识求解，也可以通过添加辅助线，利用平行线的性质推导出$\angle P=\angle AQP$，从而得出结论.
解：$\triangle APQ$是等腰三角形. 理由如下：
(方法1)在$\triangle ABC$中，因为$AB=AC$，所以$\angle B=\angle C$.
因为$PD\perp BC$，所以$\angle B+\angle P=90^{\circ}$，$\angle C+\angle CQD=90^{\circ}$，
所以$\angle P=\angle CQD$.
因为$\angle CQD=\angle AQP$，所以$\angle P=\angle AQP$，
所以$\triangle APQ$为等腰三角形.
(方法2)如图，过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$.

因为$AB=AC$，所以$\angle BAE=\angle CAE$.
因为$PD\perp BC$，$AE\perp BC$，所以$AE// PD$，
所以$\angle BAE=\angle P$，$\angle CAE=\angle AQP$，
所以$\angle P=\angle AQP$，所以$\triangle APQ$是等腰三角形.
点拨：当已知三角形是等腰三角形时，通常作底边上的高，利用“三线合一”的性质解决问题，这是常用的一种添加辅助线的方法.