《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

14. 如图，A，F，C，D在同一直线上，AB//DE，AB=DE，AF=CD，求证：

(1)BC=EF；
(2)BC//EF.

答案： 14.证明：
(1)
∵AB//DE，
∴∠A=∠D.
∵AF=CD，
∴AC=DF.
在△ABC 与△DEF 中，
$\begin{cases}AB=DE,\\∠A=∠D,\\AC=DF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF.
(2)
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BCA=∠EFD，
∴BC//EF.

15. 如图，已知A，F，B，D在同一直线上，且AF=BD，∠C=∠E=90°，AC=DE，BC与EF相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若∠D=50°，求∠COF的度数.

答案： 15.
(1)证明：
∵AF=BD，
∴AB=DF.
又∠C=∠E=90°，
在 Rt△ABC 与 Rt△DFE 中，
$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DE（此处原题可能存在笔误，按逻辑应为AC对应DF等，但按原文识别），\end{cases}$（此处按原文识别，可能存在错误，正确逻辑可能不同）
∵$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DF,\end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL).
(2)解：
∵Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)，
∴∠ABC=∠EFD.
∵∠C=∠E=90°,∠D=50°，
∴∠ABC=∠EFD=90-∠D=40°，
∴∠COF=∠ABC+∠DFE=40°+40°=80°.

如图(1)，C是线段AB上的一点，在AB的同侧作等边△ADC和△BCE.
(1)试说明：AE=DB.
(2)想一想：如果把△ACD绕点C旋转到图(2)(3)(4)的位置，AE=DB能否成立？请解答.

答案： 解：
(1)
∵△ADC 和△BCE 是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB.
在△AEC 和△DBC 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB.
(2)①成立.理由如下：
∵△ADC 和△BCE 是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB.
在△AEC 和△DBC 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB.
②成立.理由如下：
∵△ADC 和△BCE 是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ECB-∠ACB=∠ACD-∠ACB，
即∠ACE=∠DCB.
在△AEC 和△DBC 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB.
③成立.理由如下：
△ADC 和△BCE 是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ECB+∠ACB=∠ACD+∠ACB，
即∠ACE=∠DCB.
在△AEC 和△DBC 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB.
综上所述，AE=DB 在①②③的位置均成立.