《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

例题2 如图，$BD \perp AC$于点$D$，$CE \perp AB$于点$E$，$AD = AE$. 试证明：$BE = CD$.

答案： 分析：要证明$BE = CD$，只要证明$AB = AC$即可. 由条件可以求得$\triangle AEC$和$\triangle ADB$全等，从而可以证得结论.
证明：因为$BD \perp AC$于点$D$，$CE \perp AB$于点$E$，
所以$\angle ADB = \angle AEC = 90^{\circ}$.
因为$\begin{cases} \angle ADB = \angle AEC, \\ AD = AE, \\ \angle A = \angle A, \end{cases}$
所以$\triangle ADB \cong \triangle AEC$(ASA)，所以$AB = AC$.
又因为$AD = AE$，所以$BE = CD$.
点拨：用证明三角形全等的方法证明两条线段相等、两个角相等，首先要注意分析包含两条线段、两个角的两个三角形是否具备全等的条件，若不具备全等的条件，则可以设法作出辅助线，将已知条件有机地联系起来，以达到充分利用已知条件的目的.

1. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，点$B$，$F$，$C$，$D$在同条直线上，已知$\angle A = \angle D$，$AC = DF$，添加以下条件，不能判定$\triangle ABC \cong \triangle DEF$的是(D)

A.$\angle B = \angle E$
B.$AB = DE$
C.$\angle ACD = \angle BFE$
D.$BC = EF$

答案： 1.D

2. 如图，$\triangle ABD \cong \triangle ECB$，点$E$在$BD$上. 若$BC = 11$，$DE = 6$，$EC = 7$，则$AD$的长为(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 2.C

3. 如图，在$3 × 3$的正方形方格中，每个小正方形的边长都是$1$. 已知$\triangle ABC \cong \triangle EDF$，则$\angle 1$和$\angle 2$的关系是(D)

A.$\angle 1 = \angle 2$
B.$\angle 2 = 2\angle 1$
C.$\angle 2 = 90^{\circ} + \angle 1$
D.$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$

答案： 3.D

4. 如图，$AB \perp BC$，$AD \perp DC$，若想利用“HL”证明$Rt \triangle ABC \cong Rt \triangle ADC$，请你添加一个条件(A)

A.$AB = AD$
B.$AD = BC$
C.$\angle 1 = \angle 4$
D.$\angle 2 = \angle 3$

答案： 4.A