《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

我们把形如$x+\frac{mn}{x}=m+n$($m$，$n$不为零)，且两个解分别为$x_1=m$，$x_2=n$的方程称为“十字分式方程”.
例如，$x+\frac{6}{x}=5$为十字分式方程，可化为$x+\frac{2 × 3}{x}=2+3$，$\therefore x_1=2$，$x_2=3$.
再如，$x+\frac{7}{x}=-8$为十字分式方程，可化为$x+\frac{(-1) × (-7)}{x}=(-1)+(-7)$，
$\therefore x_1=-1$，$x_2=-7$.
应用上面的结论解答下列问题：
(1) 若$x+\frac{10}{x}=-7$为十字分式方程，则$x_1=$-2，$x_2=$-5；

答案： 解：
(1)-2 -5

(2) 若十字分式方程$x-\frac{4}{x}=-5$的两个解分别为$x_1=a$，$x_2=b$，求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1$的值；

答案：
(2)
∵十字分式方程$x-\frac{4}{x}=-5 $的两个解分别为
x₁=a,x₂=b，
∴ab=-4,a+b=-5，
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1$
$=\frac{b^{2}+a^{2}}{ab}+1，$
$=\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}+1，$
$=\frac{(-5)^{2}-2 × (-4)}{-4}+1，$
$=\frac{29}{-4}$
$=- \frac{29}{4}$

(3) 若关于$x$的十字分式方程$x-\frac{3k-2k^2}{x-1}=3k-2$的两个解分别为$x_1$，$x_2$（$k＞3$，$x_1＞x_2$），求$\frac{x_1+4}{x_2}$的值.

答案：
(3)方程$x-\frac{3k-2k^{2}}{x-1}=3k-2 $是十字分式方程，可化为
$x-1+\frac{k(2k-3)}{x-1}=k+(2k-3)，$
当k＞3 时，2k-3-k=k-3＞0.
∵关于x 的十字分式方程$x-\frac{3k-2k^{2}}{x-1}=3k-2 $的两个解分别为x₁,x₂(k＞3,x₁＞x₂)，
∴x₁-1=2k-3,x₂-1=k，
∴x₁=2k-2,x₂=k+1，
∴$\frac{x₁+4}{x₂}=\frac{2k-2+4}{k+1}=\frac{2k+2}{k+1}=\frac{2(k+1)}{k+1}=2.$