《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

例题1 如图(1)，已知$AB// CD$，求证：$\angle AEC = \angle A + \angle C$.

答案：
分析：根据题目的内容，本道题目可以利用平行线的性质、三角形内角和定理或者周角的性质，采取多种方法进行证明.
证明：①第一种证明方法，利用“两直线平行，内错角相等”.
经过点$E$作$EF// AB$，如图
(2).

因为$EF// AB$，$AB// CD$，
所以$EF// CD$（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行），
所以$\angle1 = \angle A$，$\angle2 = \angle C$（两直线平行，内错角相等）.
因为$\angle AEC = \angle1 + \angle2$，所以$\angle AEC = \angle A + \angle C$.
②第二种证明方法，利用三角形内角和定理.
连接$AC$，如图
(3).
在$\triangle ACE$中，$\angle1 + \angle2 + \angle AEC = 180^{\circ}$.
因为$AB// CD$，所以$\angle BAC + \angle ACD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
即$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 180^{\circ}$，所以$\angle AEC = \angle3 + \angle4$，

即$\angle AEC = \angle BAE + \angle ECD$.
③第三种方法，利用三角形内角和定理的推论.
延长$AE$交$CD$于点$F$，如图
(4).
因为$AB// CD$，所以$\angle A = \angle1$（两直线平行，内错角相等）.
又因为$\angle AEC = \angle C + \angle1$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以$\angle AEC = \angle A + \angle C$.
④第四种方法，利用周角的性质.
经过点$E$作$EF// AB$，如图
(5).
因为$EF// AB$，$AB// CD$，
所以$EF// CD$（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行），
所以$\angle1 + \angle A = 180^{\circ}$，$\angle2 + \angle C = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
所以$\angle1 + \angle A + \angle2 + \angle C = 360^{\circ}$.
又因为$\angle AEC + \angle1 + \angle2 = 360^{\circ}$，所以$\angle AEC = \angle A + \angle C$.
点拨：通过一题多解的训练可以帮助激活思维，起到事半功倍的效果.