《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

例题3 若关于$x$的方程$\frac{k-1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-x}=\frac{k-5}{x^2+x}$有增根$x=-1$，求$k$的值.

答案： 分析：涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：
(1) 去分母，化分式方程为整式方程.
(2) 将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.
解：原方程可化为
$\frac{k-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}=\frac{k-5}{x(x+1)}$.
方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$得
$x(k-1)-(x+1)=(k-5)(x-1)$，
化简得$3x=6-k$.
当$x=-1$时，有$3 × (-1)=6-k$，所以$k=9$.
点拨：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根. 解这类问题首先要把分式方程转化为整式方程，然后把增根代入整式方程求字母的值.

1. 已知$x=3$是分式方程$\frac{kx}{x-1}+\frac{2k-1}{x}=2$的解，那么实数$k$的值为(D)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.D

2. 在下列关于$x$的方程中分式方程的个数是(B)
①$\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+4=0$; ②$\frac{x}{a}=4$; ③$\frac{a}{x}=5$; ④$\frac{x^2-9}{x+3}=1$; ⑤$\frac{1}{x+2}=6$; ⑥$\frac{2x-1}{3}=x+7$.

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： 2.B

3. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时，去分母后变形为(C)

A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-(x+2)=3(1-x)$
C.$2-(x+2)=3(x-1)$
D.$2-x+2=3(x-1)$

答案： 3.C