《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

12. 如图，点$D$是$\angle EAF$平分线上的一点.若$\angle ACD+\angle ABD=180°$，试说明$CD=BD$.

答案：
12.解：如图,过点D分别作AE,AF的垂线,交AE于点M,交AF于点N,
则∠CMD = ∠BND = 90°.因为AD为∠EAF的平分线,所以DM = DN.
因为∠ACD + ∠ABD = 180°,∠ACD + ∠MCD = 180°,所以∠MCD = ∠NBD.
在△CDM和△BDN中，
∠CMD = ∠BND = 90°,∠MCD = ∠NBD,
DM = DN,
所以△CDM≌△BDN,所以CD = BD.

13. 在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$边的点(不与点$B$，$C$重合)，连接$AD$.
(1)如图(1)，当点$D$是$BC$边上的中点时，$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=$1:1；
(2)如图(2)，当$AD$是$\angle BAC$的平分线时，若$AB=m$，$AC=n$，则$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=$m:n；(用含$m$，$n$的代数式表示)
(3)如图(3)，$AD$平分$\angle BAC$，延长$AD$到$E$，使得$AD=DE$，连接$BE$，如果$AC=2$，$AB=4$，$S_{\triangle BDE}=6$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 13.解：
(1)1:1
(2)m:n
(3)因为AD = DE,
由
(1)可知：$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BDE} = 1:1$,
因为$S_{\triangle BDE} = 6$,
所以$S_{\triangle ABD} = 6$,
因为AC = 2,AB = 4,AD平分∠BAC,
由
(2)可知：$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD} = AB:AC = 4:2 = 2:1$,
所以$S_{\triangle ACD} = 3$,
所以$S_{\triangle ABC} = 6 + 3 = 9$.

图(1)是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$.
(1)如图(2)，将仪器放置在$\triangle ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$.$AP$是$\angle BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
(2)如图(3)，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ\perp AB$于点$Q$，若$PQ=4$，$AC=6$，求$\triangle APC$的面积.

答案：
解：
(1)AP是∠BAC的平分线,理由如下：
如图
(2),在△ADF和△AEF中，
$\begin{cases} AD = AE, \\ AF = AF, \\ DF = EF, \end{cases}$
所以△ADF≌△AEF(SSS),
所以∠DAF = ∠EAF,
所以AP平分∠BAC.
(2)如图
(3),过点P作PM⊥AC于点M.
因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
所以PM = PQ = 4,
所以$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}AC · PM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$.