《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$BC$上的中线，点$F$为$AB$中点，点$E$为$AC$上一点，连接$EF$，$FD$，$DE$.
(1)从①$BE\perp AC$；②$EF=DF$这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明. 你选择的条件是②，结论是①.(填写序号即可)
(2)在(1)的条件下，当$\angle BAC=50^{\circ}$时，求$\angle FED$的度数.

答案： 14.解:
(1)选择②EF=DF作为条件，①BE⊥AC作为结论.
证明:因为AB=AC，AD为BC上的中线，
所以AD⊥BC，所以∠ADB=90°.
因为点F为AB中点，
所以DF=AF=BF=$\frac{1}{2}$AB.
因为EF=DF，所以EF=AF=BF，
所以∠FEA=∠FAE，∠FEB=∠FBE.
因为∠FEA+∠FAE+∠FEB+∠FBE=180°，且∠FEA+∠FEB=∠FAE+∠FBE，
所以2(∠FEA + ∠FEB)=180°，
所以∠AEB=∠FEA+∠FEB=90°，
所以BE⊥AC.(答案不唯一)
(2)因为AB=AC，∠BAC=50°，
所以∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180° - 50°)=65°.
因为DF=BF，EF=AF，
所以∠FDB=∠ABC=65°，∠FEA=∠BAC =50°，
所以∠BFD=180° - ∠FDB - ∠ABC=50°，
∠AFE=180° - ∠FEA - ∠BAC=80°，
所以∠DFE=180° - ∠BFD - ∠AFE=50°.
因为EF=DF，
所以∠FED=∠FDE=$\frac{1}{2}$×(180° - 50°)=65°，
所以∠FED的度数为65°.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$边上，且$BE=CF$，$BD=CE$.
(1)求证：$\triangle DEF$是等腰三角形；
(2)当$\angle A=40^{\circ}$时，求$\angle DEF$的度数.

答案：
15.证明:因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB.
在△DBE和△ECF中，
$\begin{cases}BE=CF,\\∠ABC=∠ACB,\\BD=CE,\end{cases}$
所以△DBE≌△ECF(SAS)，
所以DE=EF，
所以△DEF是等腰三角形.
(2)因为△DBE≌△ECF，
所以∠1=∠3，∠2=∠4.
因为∠A + ∠B + ∠C=180°，
所以∠B=$\frac{1}{2}$(180° - 40°)=70°，
所以∠1+∠2=110°，
所以∠3+∠2=110°，
所以∠DEF=70°.

16. 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，$AD\perp BC$，垂足为$G$，且$AD=AB$，$\angle EDF=60^{\circ}$，其两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$.
求证：(1)$\triangle ABD$是等边三角形；
(2)$BE=AF$.

答案： 16.证明:
(1)因为AB=AC，AD⊥BC，
所以∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
因为∠BAC=120°，
所以∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
因为AD=AB，
所以△ABD是等边三角形.
(2)因为△ABD是等边三角形，
所以∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
因为∠EDF=60°，
所以∠ADB=∠EDF，
所以∠ADB - ∠ADE=∠EDF - ∠ADE，
所以∠BDE=∠ADF.
在△BDE与△ADF中，
$\begin{cases}∠DBE=∠DAF=60°,\\BD=AD,\\∠BDE=∠ADF,\end{cases}$
所以△BDE≌△ADF(ASA)，
所以BE=AF.

如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，$AB=16\ cm$，$BC=12\ cm$，$AC=20\ cm$，$P$，$Q$是$\triangle ABC$边上的两个动点，其中点$P$从点$A$开始沿$A\rightarrow B$方向运动，且速度为每秒$1\ cm$，点$Q$从点$B$开始沿$B\rightarrow C\rightarrow A$方向运动，且速度为每秒$2\ cm$，它们同时出发，设出发的时间为$t$秒.
(1)$BP=$(16 - t)cm(用$t$的代数式表示).
(2)当点$Q$在边$BC$上运动时，出发几秒后，$\triangle PQB$是等腰三角形?
(3)当点$Q$在边$CA$上运动时，出发几秒后，$\triangle BCQ$是以$BC$或$BQ$为底边的等腰三角形?

答案：
解:
(1)由题意可知AP=t，BQ=2t.
因为AB=16cm，
所以BP=AB - AP=(16 - t)cm，
故答案为:(16 - t)cm.
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16 - t=2t，解得$t=\frac{16}{3}$，
所以出发$\frac{16}{3}$秒后，△PQB为等腰三角形.
(3)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，
CQ=BQ，如图
(1)所示，
则∠C=∠CBQ.
因为∠ABC=90°，
所以∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
所以∠A=∠ABQ，
所以BQ=AQ，
所以CQ=AQ=10(cm)，
所以BC+CQ=22(cm)，
所以t=22÷2=11.

②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，
CQ=BC，如图
(2)所示，
则BC+CQ=24(cm)，
所以t=24÷2=12.
综上所述，当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.