《2025年行知天下八年级数学上册青岛版》

例题1 如图，$AB=AC$，$DE$垂直平分$AB$，交$AB$于$D$，交$AC$于$E$. 若$\triangle ABC$的周长为$28$，$BC=8$，求$\triangle BCE$的周长.

答案： 分析：利用线段垂直平分线的性质将$BE$转化为$AE$，把$\triangle BCE$的周长转化为$AC + BC$，可求出答案.
解：因为$\triangle ABC$的周长为$28$，$BC = 8$，$AB = AC$，
所以$2AC + BC = 28$，所以$AC = 10$.
因为$DE$垂直平分$AB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
所以$\triangle BCE$的周长$= BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC = 10 + 8 = 18$.
点拨：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，我们可以得到证明两条线段相等的方法.

例题2 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2$，$\angle B = \angle C = 40^{\circ}$，点$D$在线段$BC$上运动(D不与$B$，$C$重合)，连接$AD$，作$\angle ADE = 40^{\circ}$，$DE$交线段$AC$于$E$.

(1)当$\angle BDA = 115^{\circ}$时，$\angle EDC =$$^{\circ}$，$\angle DEC =$$^{\circ}$；点$D$从$B$向$C$运动时，$\angle BDA$逐渐变(选填“大”或“小”).
(2)当$DC$等于多少时，$\triangle ABD \cong \triangle DCE$？请说明理由.
(3)在点$D$的运动过程中，$\triangle ADE$可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出$\angle BDA$的度数；若不可以，请说明理由.

答案： 分析：
(1)根据$\angle BDA = 115^{\circ}$以及$\angle ADE = 40^{\circ}$，即可得出$\angle EDC = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle ADE$，进而求出$\angle DEC$的度数.
(2)当$DC = 2$时，利用$\angle DEC + \angle EDC = 140^{\circ}$，$\angle ADB + \angle EDC = 140^{\circ}$，求出$\angle ADB = \angle DEC$，再利用$AB = DC = 2$，即可得出$\triangle ABD \cong \triangle DCE$.
(3)当$\angle BDA$的度数为$110^{\circ}$或$80^{\circ}$时，$\triangle ADE$是等腰三角形.
解：
(1)$\angle EDC = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle ADE = 180^{\circ} - 115^{\circ} - 40^{\circ} = 25^{\circ}$，
$\angle DEC = 180^{\circ} - \angle EDC - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 25^{\circ} = 115^{\circ}$，所以逐渐变小.
(2)当$DC = 2$时，$\triangle ABD \cong \triangle DCE$.
理由：因为$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle DEC + \angle EDC = 140^{\circ}$.
又因为$\angle ADE = 40^{\circ}$，所以$\angle ADB + \angle EDC = 140^{\circ}$，所以$\angle ADB = \angle DEC$.
又因为$AB = DC = 2$，所以$\triangle ABD \cong \triangle DCE$(AAS).
(3)当$\angle BDA$的度数为$110^{\circ}$或$80^{\circ}$时，$\triangle ADE$是等腰三角形.
理由：因为$\angle BDA = 110^{\circ}$，所以$\angle ADC = 70^{\circ}$.
因为$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle DAC = 70^{\circ}$，$\angle AED = \angle C + \angle EDC = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$\angle DAC = \angle AED$，所以$\triangle ADE$是等腰三角形.
因为$\angle BDA = 80^{\circ}$，所以$\angle ADC = 100^{\circ}$.
因为$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle DAC = 40^{\circ}$，所以$\angle DAC = \angle ADE$，
所以$\triangle ADE$是等腰三角形.
点拨：对于判别图形形状的题目，应先猜想其形状，然后根据已知条件，结合图形推导.