《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

9. [2022 南京]如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标是(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是 ．

答案： (2，3)
解析：过D作DE⊥x轴于E，过C作CF⊥DE于F。A(-1,0)，D(-2,4)，AE=1，DE=4。△ADE≌△DCF(AAS)，CF=DE=4，DF=AE=1，
∴EF=DE-DF=3，C点横坐标为-2+CF=-2+4=2，纵坐标为EF=3，即(2,3)。

10.(☆)[2022 益阳]如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使点A的对应点A'满足AA'＝1/3 AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．

答案： 4
解析：AC=√(3²+3²)=3√2，AA'=√2，A'C=AC-AA'=2√2。重叠部分为正方形，边长为A'C/√2=2√2/√2=2，面积=2²=4。

11.如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．
(1)求证：DF＝AE；
(2)求∠AOD的度数．

答案：
(1)证明：正方形ABCD中，AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°。AF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴DF=AE。
(2)解：由
(1)知△DAF≌△ABE，
∴∠ADF=∠BAE。∠BAE+∠DAO=90°，
∴∠ADF+∠DAO=90°，在△AOD中，∠AOD=180°-90°=90°。

12.(☆)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，分别连接EF，AF，AE，已知∠EAF＝45°．
(1)求证：EF＝BE＋DF；
(2)若BE＝3，CF＝4，求正方形的边长．

答案：
(1)证明：延长CB至G，使BG=DF，连接AG。正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF。∠EAF=45°，∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAG+∠BAE=45°=∠GAE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴EF=GE=BE+BG=BE+DF。
(2)解：设正方形边长为x，则CE=x-3，CF=4，DF=x-4。由
(1)知EF=BE+DF=3+(x-4)=x-1。在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，(x-1)²=(x-3)²+4²，x²-2x+1=x²-6x+9+16，4x=24，x=6，正方形边长为6。