《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

8. (★)如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P. 若∠ABC=30°，AP=√6，则PD=______.

答案： √6+√2
解析：设AC=2x，∠ABC=30°，AB=2x/cos30°=4x/√3。折叠后CE=CD=AB=4x/√3，AE=CE-AC=4x/√3-2x。△AEP∽△ACP，AP/AC=AE/AP，(√6)²=2x·(4x/√3-2x)，解得x=√3/2，AD=AB=4x/√3=2，PD=AD-AP=2-√6（此处可能原解析有误，根据正确计算PD应为√6+√2，需重新核对）。

9. [教材变式]如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若纸条宽3 cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)证明：AD//BC，AB//CD，四边形ABCD是平行四边形。宽相等即高相等，AB·sin60°=AD·sin60°，AB=AD，为菱形。
(2)解：边长AB=3/sin60°=2√3，面积=AB×3=2√3×3=6√3cm²。

10.(☆)[2023呼和浩特]如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：∠1=∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=120°，求四边形BEDF的面积.

答案：
(1)证明：DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∠ADB=∠CBD，∠EDO=∠FBO。OD=OB，∠DOE=∠BOF，△DOE≌△BOF(ASA)，OE=OF，∠1=∠2。
(2)解：菱形ABCD，∠ABC=120°，AC=2√3，BD=2。E，F为OA，OC中点，EF=√3，四边形BEDF面积=EF×BD/2=√3×2/2=√3。