《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB边的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)若D为AB边的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．

答案：
(1)证明：DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴AC//DE。MN//AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD。
(2)解：四边形BECD是菱形。D是AB中点，AD=BD，由
(1)CE=AD=BD，CE//BD，
∴四边形BECD是平行四边形。∠ACB=90°，D是AB中点，CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形。
(3)解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形。∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AC=BC。D是AB中点，CD⊥AB，∠CDB=90°，由
(2)知四边形BECD是菱形，∠CDB=90°，
∴菱形BECD是正方形。

19.[教材变式]如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝12 cm，AD＝28 cm，BC＝33 cm．点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以2 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t(s)．
(1)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请你改变点Q的运动速度，使四边形PQCD在某一时刻为菱形．

答案：
(1)解：四边形ABQP为矩形，需AQ=BP且∠B=90°，即AP=BQ。AP=t，BQ=BC-CQ=33-2t，t=33-2t，t=11。
(2)解：四边形PQCD是菱形，需PQ=QC=CD=PD。PD=AD-AP=28-t，QC=2t，CD=√(AB²+(BC-AD)²)=√(144+25)=13。PD=QC，28-t=2t，t=28/3，此时QC=56/3≠13，不存在。改变Q速度为v cm/s，令PD=QC=CD=13，28-t=13，t=15，QC=13=v×15，v=13/15 cm/s。