《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

16.[2023 新疆]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点．
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．

答案：
(1)证明：∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC，∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OA=OD。E、F分别是AO、DO中点，
∴OE=OA/2，OF=OD/2，
∴OE=OF。
(2)证明：由
(1)知OE=OF，OB=OC，
∴四边形BECF是平行四边形。∠A=30°，∠ABO=90°，
∴OB=OA/2=OE，
∴BC=2OB=OE+OF=EF，
∴平行四边形BECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

17.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求四边形BNDM的周长．

答案：
(1)证明：MN垂直平分BD，
∴MB=MD，NB=ND，∠BMO=∠DMO。AD//BC，
∴∠DMO=∠BNO，∠BMO=∠BNO，
∴MB=NB，
∴MB=MD=NB=ND，四边形BNDM是菱形。
(2)解：菱形BNDM中，BD=24，MN=10，对角线交点为O，BO=12，MO=5，BM=√(BO²+MO²)=√(144+25)=13，周长=4×13=52。