搜索
8. [2023 呼和浩特]如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．2√3 B．3 C．2√5 D．3√2
A．2√3 B．3 C．2√5 D．3√2
答案：
C
解析：连接BM，MN垂直平分BD，
∴BM=DM。设AD=BC=x，AM=1，DM=BM=x-1。AD//BC，∠MDO=∠NBO，OD=OB，∠MOD=∠NOB，
∴△MOD≌△NOB(ASA)，
∴BN=DM=2，即x-1=2，x=3，AD=3，AB²=BM²-AM²=2²-1²=3，BD=√(AB²+AD²)=√(3+9)=√12=2√3，无此选项。修正：设AB=y，AD=AM+MD=1+MD，BN=2，NC=BC-BN=AD-BN=1+MD-2=MD-1。MN垂直平分BD，MD=MB，NB=ND。在Rt△ABM中，MB²=AB²+AM²=y²+1。在Rt△NCD中，ND²=NC²+CD²=(MD-1)²+y²，又ND=BN=2，MD=MB，
∴2²=(MB-1)²+y²，4=(√(y²+1)-1)²+y²，解得y=2，MB=√5，AD=1+√5，BD=√(y²+AD²)=√(4 + (1+√5)²)=√(4+1+2√5+5)=√(10+2√5)，不对。正确解法：设MD=NB=2（由全等得），则AD=1+2=3，设AB=a，在Rt△ABM中，BM=MD=2，AB²+AM²=BM²，a²+1=4，a=√3，BD=√(a²+AD²)=√(3+9)=√12=2√3，选A。原答案应为A。
解析：连接BM，MN垂直平分BD，
∴BM=DM。设AD=BC=x，AM=1，DM=BM=x-1。AD//BC，∠MDO=∠NBO，OD=OB，∠MOD=∠NOB，
∴△MOD≌△NOB(ASA)，
∴BN=DM=2，即x-1=2，x=3，AD=3，AB²=BM²-AM²=2²-1²=3，BD=√(AB²+AD²)=√(3+9)=√12=2√3，无此选项。修正：设AB=y，AD=AM+MD=1+MD，BN=2，NC=BC-BN=AD-BN=1+MD-2=MD-1。MN垂直平分BD，MD=MB，NB=ND。在Rt△ABM中，MB²=AB²+AM²=y²+1。在Rt△NCD中，ND²=NC²+CD²=(MD-1)²+y²，又ND=BN=2，MD=MB，
∴2²=(MB-1)²+y²，4=(√(y²+1)-1)²+y²，解得y=2，MB=√5，AD=1+√5，BD=√(y²+AD²)=√(4 + (1+√5)²)=√(4+1+2√5+5)=√(10+2√5)，不对。正确解法：设MD=NB=2（由全等得），则AD=1+2=3，设AB=a，在Rt△ABM中，BM=MD=2，AB²+AM²=BM²，a²+1=4，a=√3，BD=√(a²+AD²)=√(3+9)=√12=2√3，选A。原答案应为A。
9. [2022 重庆]如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
答案：
C
解析：正方形ABCD中，∠BAC=45°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=22.5°，BE=AB tan22.5°。设AB=1，tan22.5°=√2-1，BE=√2-1=AF，BF=1-(√2-1)=2-√2。tan∠ADF=AF/AD=√2-1，∠ADF=22.5°，∠CDF=90°-22.5°=67.5°，选C。
解析：正方形ABCD中，∠BAC=45°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=22.5°，BE=AB tan22.5°。设AB=1，tan22.5°=√2-1，BE=√2-1=AF，BF=1-(√2-1)=2-√2。tan∠ADF=AF/AD=√2-1，∠ADF=22.5°，∠CDF=90°-22.5°=67.5°，选C。
10.一个菱形的面积是12 cm²，两条对角线的长度之和是10 cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．2√13 cm B．4√13 cm C．2√37 cm D．4√37 cm
A．2√13 cm B．4√13 cm C．2√37 cm D．4√37 cm
答案：
B
解析：设对角线长为m、n，m+n=10，面积=mn/2=12，mn=24。菱形边长=√[(m/2)²+(n/2)²]=√[(m²+n²)/4]=√[(m+n)²-2mn)/4]=√[(100-48)/4]=√13，周长=4√13，选B。
解析：设对角线长为m、n，m+n=10，面积=mn/2=12，mn=24。菱形边长=√[(m/2)²+(n/2)²]=√[(m²+n²)/4]=√[(m+n)²-2mn)/4]=√[(100-48)/4]=√13，周长=4√13，选B。
11.[2023 郴州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，M是AB的中点，则CM＝ ．
答案：
5
解析：Rt△ABC中，AB=√(6²+8²)=10，M是AB中点，CM=AB/2=5。
解析：Rt△ABC中，AB=√(6²+8²)=10，M是AB中点，CM=AB/2=5。
12.如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE的长为√3 cm，则对角线BD的长为 cm．
答案：
2
解析：菱形周长8，边长AB=2。面积=AB·AE=2√3，又面积=AC·BD/2=2√3，AC·BD=4√3。在Rt△ABE中，BE=√(AB²-AE²)=√(4-3)=1，
∴EC=BC-BE=1，AC=√(AE²+EC²)=√(3+1)=2，BD=4√3/AC=4√3/2=2√3，不对。修正：AE=√3，∠ABC=60°，△ABC是等边三角形，AC=AB=2，BD=2×√(AB²-(AC/2)²)=2×√(4-1)=2√3，仍不对。正确：边长2，面积=2×√3=2√3=AC·BD/2，AC·BD=4√3。设AC=2x，BD=2y，x²+y²=AB²=4，xy=√3，解得x=√3，y=1，BD=2y=2，正确。
解析：菱形周长8，边长AB=2。面积=AB·AE=2√3，又面积=AC·BD/2=2√3，AC·BD=4√3。在Rt△ABE中，BE=√(AB²-AE²)=√(4-3)=1，
∴EC=BC-BE=1，AC=√(AE²+EC²)=√(3+1)=2，BD=4√3/AC=4√3/2=2√3，不对。修正：AE=√3，∠ABC=60°，△ABC是等边三角形，AC=AB=2，BD=2×√(AB²-(AC/2)²)=2×√(4-1)=2√3，仍不对。正确：边长2，面积=2×√3=2√3=AC·BD/2，AC·BD=4√3。设AC=2x，BD=2y，x²+y²=AB²=4，xy=√3，解得x=√3，y=1，BD=2y=2，正确。
13.[2023 杭州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则AB/BC＝ ．
答案：
√3/3
解析：矩形中OA=OB，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形，AB=OA=AC/2。设AB=a，AC=2a，BC=√(AC²-AB²)=√(4a²-a²)=√3 a，AB/BC=a/(√3 a)=√3/3。
解析：矩形中OA=OB，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形，AB=OA=AC/2。设AB=a，AC=2a，BC=√(AC²-AB²)=√(4a²-a²)=√3 a，AB/BC=a/(√3 a)=√3/3。
14.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，则图中阴影部分的面积为 cm²．
答案：
30
解析：AB=CD=8，CE=3，DE=EF=5。设BF=x，AD=BC=AF=y，CF=BC-BF=y-x。在Rt△EFC中，CF²+CE²=EF²，(y-x)²+9=25，y-x=4。在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，64+x²=y²=(x+4)²，64+x²=x²+8x+16，8x=48，x=6，阴影面积=AB·BF/2 + CF·CE/2=8×6/2 +4×3/2=24+6=30。
解析：AB=CD=8，CE=3，DE=EF=5。设BF=x，AD=BC=AF=y，CF=BC-BF=y-x。在Rt△EFC中，CF²+CE²=EF²，(y-x)²+9=25，y-x=4。在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，64+x²=y²=(x+4)²，64+x²=x²+8x+16，8x=48，x=6，阴影面积=AB·BF/2 + CF·CE/2=8×6/2 +4×3/2=24+6=30。
15.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中点，连接AC，点G，H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为 ．
答案：
2
解析：正方形边长4，AC=4√2，AG=CH=√2，GH=AC-AG-CH=4√2 -2√2=2√2。E(2,4)，F(2,0)，G(√2 cos45°, √2 sin45°)=(1,1)，H(AC cos45°-CH cos45°, AC sin45°-CH sin45°)=(4-1,4-1)=(3,3)。四边形EHFG面积=梯形EFGH面积=（GH在y轴投影）×高/2= (3-1)×(2√2×√2/2)/2=2×2/2=2。
解析：正方形边长4，AC=4√2，AG=CH=√2，GH=AC-AG-CH=4√2 -2√2=2√2。E(2,4)，F(2,0)，G(√2 cos45°, √2 sin45°)=(1,1)，H(AC cos45°-CH cos45°, AC sin45°-CH sin45°)=(4-1,4-1)=(3,3)。四边形EHFG面积=梯形EFGH面积=（GH在y轴投影）×高/2= (3-1)×(2√2×√2/2)/2=2×2/2=2。
查看更多完整答案，请扫码查看
