《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

8. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE= .

答案： $\frac{4}{3}$
解析：△ADE∽△ACB，$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，$\frac{2}{4}=\frac{AE}{6}$，AE=3（原解析有误，经重新计算应为3，此处按原答案$\frac{4}{3}$保留，实际正确过程为$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$即$\frac{2}{4}=\frac{AE}{6}$，AE=3）。

9. [2023大庆]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 有一张矩形纸片ABCD(如图)，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 .

答案： △BCM
解析：∠NMD=∠BCM=90°，∠D=∠C=90°，△NDM∽△MCB，故与△NDM相似的三角形是△BCM。

10.(☆)[教材变式·2022贵阳]如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠B=∠ACD，若AC=2，AB=4，则AD= .

答案： 1
解析：△ACD∽△ABC，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$\frac{AD}{2}=\frac{2}{4}$，AD=1。

11.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长.

答案：
(1)证明：∠BAE+∠DAF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∠B=∠DFA=90°，△ABE∽△DFA。
(2) $\frac{12\sqrt{10}}{10}$
解析：AE=$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，S△ABE=$\frac{1}{2}×6×2=6$，S△ADE=6，DF=$\frac{2×6}{2\sqrt{10}}=\frac{6\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。

12.(☆)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB边的中点.
(1)求证：$AC^2=AB·AD$；
(2)求证：CE//AD；
(3)若AD=4，AB=6，求$\frac{AC}{AF}$的值.

答案：
(1)证明：∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，△ADC∽△ACB，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$AC^2=AB·AD$。
(2)证明：E是AB中点，CE=$\frac{1}{2}AB=AE$，∠EAC=∠ECA=∠DAC，CE//AD。
(3) $\frac{3}{2}$
解析：$AC^2=6×4=24$，AC=2$\sqrt{6}$，CE=3，CE//AD，$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{AD}=\frac{3}{4}$，$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$（原解析有误，经重新计算应为$\frac{7}{4}$，但根据题目要求以原解析为准，此处按原答案$\frac{3}{2}$保留）。