《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

7. 如图，点P₁，P₂，P₃，P₄均在坐标轴上，且P₁P₂⊥P₂P₃，P₂P₃⊥P₃P₄，若点P₁，P₂的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P₄的坐标为 ．

答案： (8，0)
解析：P₁(0,-1)，P₂(-2,0)，P₁P₂斜率$\frac{0-(-1)}{-2-0}=-\frac{1}{2}$，P₂P₃斜率2（垂直），直线P₂P₃：y=2(x+2)=2x+4，P₃(0,4)。P₃P₄斜率-$\frac{1}{2}$（垂直P₂P₃），直线P₃P₄：y-4=-$\frac{1}{2}$x，令y=0，x=8，P₄(8,0)。

8. (☆)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，EF⊥BD，分别交AD于点E，交BC于点F，则线段EF的长为 ．

答案： $\frac{24}{5}$
解析：BD=$\sqrt{6^2+8^2}=10$，S△ABD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，设EF与BD交于O，EF⊥BD，△DEO∽△DBA，$\frac{EO}{AB}=\frac{DO}{AD}$，设DO=x，EO=$\frac{6}{8}x=\frac{3}{4}x$，S△DEO=$\frac{1}{2}x·\frac{3}{4}x=\frac{3}{8}x²$。同理△BFO∽△BCD，S△BFO=$\frac{3}{8}(10-x)²$。S梯形EBCF=S矩形-S△ABE-S△ADE=48-...，解得EF=$\frac{24}{5}$。

9. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，点D，D'分别是AB，A'B'上一点，$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$．当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时，求证：△ABC∽△A'B'C'．
证明过程可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： ， ．

答案： $\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠A=∠A'
解析：由$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，又$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ADC∽△A'D'C'，∠A=∠A'，又$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。

10.(☆)[教材变式·2022江西]如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6，AC=4时，求AE的长．

答案：
(1)证明：
∵菱形ABCD，∠ACD=∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠BAC=∠ABE，又∠E=∠E，
∴△ABC∽△AEB。
(2)解：△ABC∽△AEB，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$，$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，AE=9。