《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

12.(☆)[教材变式]某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行x列，则可列方程为______，解得x=______．

答案： $(8 + x)(10 + x) = 8×10 + 40$；2
解析：原有人数为$8×10 = 80$人，增加后人数为$80 + 40 = 120$人，
列方程为$(8 + x)(10 + x) = 120$，展开得$x^2 + 18x + 80 = 120$，$x^2 + 18x - 40 = 0$，解得$x = 2$或$x = -20$（舍去），故方程为$(8 + x)(10 + x) = 8×10 + 40$，解得$x = 2$。

13.解方程：
(1)$(x + 6)^2 = 0$
(2)$4(x + 1)^2 = 16$
(3)$x^2 + 2x - 3 = 0$
(4)$x^2 - 5x - 6 = 0$
(5)$(x + 8)(x - 6) = 72$
(6)$x^2 - 6 = -3(x - 8)$

答案：
(1)解：$(x + 6)^2 = 0$，
$x + 6 = 0$，
$x_1 = x_2 = -6$；
(2)解：$4(x + 1)^2 = 16$，
$(x + 1)^2 = 4$，
$x + 1 = ±2$，
$x + 1 = 2$或$x + 1 = -2$，
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$；
(3)解：$x^2 + 2x - 3 = 0$，
$x^2 + 2x = 3$，
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$，
$(x + 1)^2 = 4$，
$x + 1 = ±2$，
$x_1 = 1$，$x_2 = -3$；
(4)解：$x^2 - 5x - 6 = 0$，
$x^2 - 5x = 6$，
$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$，
$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}$，
$x - \frac{5}{2} = ±\frac{7}{2}$，
$x_1 = 6$，$x_2 = -1$；
(5)解：$(x + 8)(x - 6) = 72$，
$x^2 + 2x - 48 = 72$，
$x^2 + 2x = 120$，
$x^2 + 2x + 1 = 120 + 1$，
$(x + 1)^2 = 121$，
$x + 1 = ±11$，
$x_1 = 10$，$x_2 = -12$；
(6)解：$x^2 - 6 = -3(x - 8)$，
$x^2 - 6 = -3x + 24$，
$x^2 + 3x - 30 = 0$，
$x^2 + 3x = 30$，
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 30 + \frac{9}{4}$，
$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{129}{4}$，
$x + \frac{3}{2} = ±\frac{\sqrt{129}}{2}$，
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{129}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{129}}{2}$。

14.(☆)[新方法]阅读材料：若$m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$，求m，n的值．
解：$\because m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$，$\therefore (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 8n + 16) = 0$，$\therefore (m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0$，$\therefore (m - n)^2 = 0$，$(n - 4)^2 = 0$，$\therefore n = 4$，$m = 4$．
根据你的发现，探究下面的问题：
(1)已知$a^2 + 6ab + 10b^2 + 2b + 1 = 0$，求a，b的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$，求△ABC的周长．

答案：
(1)解：$a^2 + 6ab + 10b^2 + 2b + 1 = 0$，
$a^2 + 6ab + 9b^2 + b^2 + 2b + 1 = 0$，
$(a + 3b)^2 + (b + 1)^2 = 0$，
$\therefore a + 3b = 0$，$b + 1 = 0$，
解得$b = -1$，$a = 3$；
(2)解：$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$，
$2(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 6b + 9) = 0$，
$2(a - 1)^2 + (b - 3)^2 = 0$，
$\therefore a - 1 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = 1$，$b = 3$，
根据三角形三边关系，$3 - 1 ＜ c ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ c ＜ 4$，
∵$c$是正整数，
∴$c = 3$，
△ABC的周长为$1 + 3 + 3 = 7$。