《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

11. 用公式法解下列方程：
(1)[2023无锡]$2x^{2}+x - 2=0$
(2)$2x(x - 1)=-1$
(3)$(x + 8)(x + 1)=-12$
(4)$0.3x^{2}-3=\frac{3}{2}x$

答案：
(1)解：$a=2$，$b=1$，$c=-2$，
$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-2)=1 + 16=17$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$，
$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$；
(2)解：方程化为$2x^{2}-2x + 1=0$，
$a=2$，$b=-2$，$c=1$，
$\Delta =(-2)^{2}-4×2×1=4 - 8=-4＜0$，
方程无实数根；
(3)解：方程化为$x^{2}+9x + 20=0$，
$a=1$，$b=9$，$c=20$，
$\Delta =9^{2}-4×1×20=81 - 80=1$，
$x=\frac{-9\pm1}{2}$，
$x_{1}=-4$，$x_{2}=-5$；
(4)解：方程化为$3x^{2}-15x - 30=0$（两边乘10），即$x^{2}-5x - 10=0$，
$a=1$，$b=-5$，$c=-10$，
$\Delta =(-5)^{2}-4×1×(-10)=25 + 40=65$，
$x=\frac{5\pm\sqrt{65}}{2}$，
$x_{1}=\frac{5+\sqrt{65}}{2}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{65}}{2}$。

12.[2023杭州]已知一元二次方程$x^{2}+bx + c=0$．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①$b=2$，$c=1$；②$b=3$，$c=1$；③$b=3$，$c=-1$；④$b=2$，$c=2$．

答案： 选择②，方程的解为$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（或选择③，解为$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$）
解析：选择②，$b=3$，$c=1$，方程为$x^{2}+3x + 1=0$，判别式$\Delta =9 - 4=5＞0$，有两个不相等的实数根，$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$。

13.(☆)已知关于x的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果$x=-1$是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

答案：
(1)解：△ABC是等腰三角形，理由：
把$x=-1$代入方程得$(a + c)(-1)^{2}+2b(-1)+(a - c)=0$，
$a + c - 2b + a - c=0$，$2a - 2b=0$，$a=b$，
所以△ABC是等腰三角形；
(2)解：△ABC是直角三角形，理由：
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta =(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，
$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
所以△ABC是直角三角形；
(3)解：因为△ABC是等边三角形，所以$a=b=c$，方程化为$(a + a)x^{2}+2ax + (a - a)=0$，$2ax^{2}+2ax=0$，$2ax(x + 1)=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。