《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

8. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形称为中点四边形. 现有一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是______.

答案： 5 cm
解析：菱形对角线6和8，中点四边形是矩形，边长为3和4，对角线长5cm。

9. (☆)[2023雅安]如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点P为边AB上的一个动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为______.

答案： 3√2
解析：四边形CEPD是矩形，DE=CP。CP⊥AB时最小，AB=6√2，CP=AC·BC/AB=6×6/(6√2)=3√2。

10.[2023内江]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：AF=BD；
(2)连接BF，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形.

答案：
(1)证明：AF//BC，∠AFE=∠DCE。E是AD中点，AE=DE。△AFE≌△DCE(AAS)，AF=CD。D是BC中点，BD=CD，AF=BD。
(2)证明：AF=BD，AF//BD，四边形ADBF是平行四边形。AB=AC，D是BC中点，AD⊥BC，∠ADB=90°，为矩形。

11.(☆)如图，在□ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形．

答案：
(1)证明：□ABCD中，AB//CD，
∴∠EBO=∠DCO。O是BC中点，
∴BO=CO。在△EBO和△DCO中，∠EBO=∠DCO，BO=CO，∠BOE=∠COD，
∴△EBO≌△DCO(ASA)，
∴EO=DO，
∴四边形BECD是平行四边形。
(2)100
解析：若四边形BECD是矩形，则BC=ED。□ABCD中，∠A=∠BCD=50°，BC=AD。由△EBO≌△DCO得BE=CD=AB，
∴AE=2AB。设AB=CD=BE=x，BC=AD=y，在△BOD中，∠OBC=∠OCB，∠BOD=180°-2∠OBC。当∠BOD=100°时，∠OBC=40°，∠ABC=180°-50°=130°，∠EBC=130°-90°=40°，此时BC=ED，四边形BECD为矩形。