《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

12.(☆)根据题意列方程．
(1)三个连续奇数的平方和是251，求这三个数．
(2)直角三角形的面积为24 cm²，两条直角边长的和为14 cm，设一条直角边长为x cm，求x的值．

答案：
(1)设中间的奇数为$x$，则另外两个奇数为$x-2$，$x+2$，根据题意得$(x-2)^{2}+x^{2}+(x+2)^{2}=251$；
(2)设一条直角边长为$x$cm，则另一条直角边长为$(14-x)$cm，根据题意得$\frac{1}{2}x(14-x)=24$，整理得$x^{2}-14x+48=0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=8$。

13.[新定义]将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$．上述记法就叫做二阶行列式．那么$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．

答案： 是，$x^{2}+x-18=0$
解析：根据二阶行列式定义可得$(x+1)×2x-(x+2)(x-2)=22$，展开得$2x^{2}+2x-(x^{2}-4)=22$，整理得$x^{2}+2x+4-22=0$，即$x^{2}+2x-18=0$，是一元二次方程，一般形式为$x^{2}+2x-18=0$。

14.(☆)教材或资料中会出现这样的题目：把方程$\frac{1}{2}x^{2}-x=2$化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
(1)下列式子中，哪几个是方程$\frac{1}{2}x^{2}-x=2$所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)
①$\frac{1}{2}x^{2}-x-2=0$ ②$-\frac{1}{2}x^{2}+x+2=0$ ③$x^{2}-2x=4$ ④$-x^{2}+2x+4=0$ ⑤$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}=0$
(2)方程$\frac{1}{2}x^{2}-x=2$化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？

答案：
(1)①②④⑤；
(2)二次项系数:一次项系数:常数项$=1:(-2):(-4)$（或二次项系数等于一次项系数的$-\frac{1}{2}$，等于常数项的$-\frac{1}{4}$等合理关系）
解析：
(1)方程$\frac{1}{2}x^{2}-x=2$移项得$\frac{1}{2}x^{2}-x-2=0$，①是一般形式；两边同乘$-1$得$-\frac{1}{2}x^{2}+x+2=0$，②是；两边同乘$-2$得$-x^{2}+2x+4=0$，④是；两边同乘$2\sqrt{3}$得$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}=0$，⑤是；③不是一般形式，故答案为①②④⑤；
(2)以①为例，二次项系数$\frac{1}{2}$，一次项系数$-1$，常数项$-2$，关系为$\frac{1}{2}:(-1):(-2)=1:(-2):(-4)$。