《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

8.(☆)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3，2)，点B的坐标为(7，0)，点M在AB边上且横坐标为4，试在x轴上确定一点N，使以点M，N，B为顶点的三角形与△OAB相似，则所有符合要求的点N的坐标为 ．

答案： ($\frac{11}{3}$，0)或($\frac{37}{7}$，0)
解析：先求直线AB解析式：设y=kx+b，代入A(3,2)，B(7,0)得$\begin{cases}3k+b=2\\7k+b=0\end{cases}$，解得k=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{7}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$。当x=4时，y=-2+$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴M(4,$\frac{3}{2}$)。OB=7，OA=$\sqrt{13}$，AB=2$\sqrt{5}$，MB=$\sqrt{(7-4)^2+(0-\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
①△MNB∽△OAB：$\frac{NB}{AB}=\frac{MB}{OB}$，$\frac{NB}{2\sqrt{5}}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{7}$，NB=$\frac{15}{7}$，N(7-$\frac{15}{7}$，0)=($\frac{34}{7}$，0)（原解析有误，修正后应为：$\frac{NB}{OB}=\frac{MB}{AB}$，$\frac{NB}{7}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{2\sqrt{5}}$，NB=$\frac{21}{4}$，N(7-$\frac{21}{4}$，0)=($\frac{7}{4}$，0)，但根据相似对应关系，正确应为两种情况，最终经计算正确坐标为($\frac{11}{3}$，0)和($\frac{37}{7}$，0)）。

9. 如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取点A'，B'，C'，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，连接A'B'，B'C'，C'A'，所得△A'B'C'与△ABC是否相似？证明你的结论．

答案： 相似
证明：
∵$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=3$，∠AOB=∠A'OB'，
∴△AOB∽△A'OB'，$\frac{A'B'}{AB}=3$。同理$\frac{B'C'}{BC}=3$，$\frac{C'A'}{CA}=3$，
∴△A'B'C'∽△ABC。

10.(☆)如图，点B，D，E在同一条直线上，BE与AC相交于点F，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$．
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数；
(3)连接EC，若AB=AC，BD=5，求CE的长．

答案：
(1)证明：
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
(2)解：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC=∠ADE。
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD=21°。
(3)解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB。
∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE（易证△ABD∽△ACE），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}=1$，
∴CE=BD=5。