《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

1. 方程$(x - 1)^2 - 9 = 0$的解是（ ）
A. $x_1 = 4$，$x_2 = -2$
B. $x_1 = -4$，$x_2 = -2$
C. $x_1 = 4$，$x_2 = 2$
D. $x_1 = -4$，$x_2 = 2$

答案： A
解析：$(x - 1)^2 - 9 = 0$，
$(x - 1)^2 = 9$，
$x - 1 = ±3$，
$x - 1 = 3$时，$x = 4$；$x - 1 = -3$时，$x = -2$，
所以方程的解为$x_1 = 4$，$x_2 = -2$，
故选：A．

2. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）
A. $x^2 - 4x - 1 = 0$化为$(x - 2)^2 = 5$
B. $x^2 - 5x - 4 = 0$化为$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{41}{4}$
C. $x^2 + 6x - 7 = 0$化为$(x + 3)^2 = 0$
D. $x^2 + 2x - 99 = 0$化为$(x + 1)^2 = 100$

答案： C
解析：A、$x^2 - 4x - 1 = 0$，$x^2 - 4x = 1$，$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，$(x - 2)^2 = 5$，正确；
B、$x^2 - 5x - 4 = 0$，$x^2 - 5x = 4$，$x^2 - 5x + \frac{25}{4}=4 + \frac{25}{4}$，$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{41}{4}$，正确；
C、$x^2 + 6x - 7 = 0$，$x^2 + 6x = 7$，$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$，$(x + 3)^2 = 16$，错误；
D、$x^2 + 2x - 99 = 0$，$x^2 + 2x = 99$，$x^2 + 2x + 1 = 99 + 1$，$(x + 1)^2 = 100$，正确，
故选：C．

3. [2022雅安]若关于x的一元二次方程$x^2 + 6x + c = 0$配方后得到方程$(x + 3)^2 = 2c$，则c的值为（ ）
A. -3
B. 0
C. 3
D. 9

答案： C
解析：$x^2 + 6x + c = 0$，$x^2 + 6x = -c$，$x^2 + 6x + 9 = -c + 9$，$(x + 3)^2 = 9 - c$，
∵配方后得到方程$(x + 3)^2 = 2c$，
∴$9 - c = 2c$，解得$c = 3$，
故选：C．

4. 一元二次方程$x^2 - 4x - 8 = 0$的解是（ ）
A. $x_1 = -2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = -2 - 2\sqrt{3}$
B. $x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$
C. $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$
D. $x_1 = 2\sqrt{3}$，$x_2 = -2\sqrt{3}$

答案： B
解析：$x^2 - 4x - 8 = 0$，$x^2 - 4x = 8$，$x^2 - 4x + 4 = 8 + 4$，$(x - 2)^2 = 12$，
$x - 2 = ±2\sqrt{3}$，$x = 2 ± 2\sqrt{3}$，
即$x_1 = 2 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 2 - 2\sqrt{3}$，
故选：B．

5. 若一元二次方程$x^2 - 4x - b = 0$无解，则b的值可以取（ ）
A. -5
B. -4
C. -3
D. -2

答案： A
解析：一元二次方程$x^2 - 4x - b = 0$的判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-b) = 16 + 4b$，
方程无解，则$\Delta ＜ 0$，即$16 + 4b ＜ 0$，$b ＜ -4$，
选项中只有$-5 ＜ -4$，
故选：A．

6. (☆)如果一个三角形的两边长分别是方程$x^2 - 8x + 15 = 0$的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A. 5.5
B. 5
C. 4.5
D. 4

答案： A
解析：解方程$x^2 - 8x + 15 = 0$，$(x - 3)(x - 5) = 0$，$x_1 = 3$，$x_2 = 5$，
设三角形第三边长为$c$，则$5 - 3 ＜ c ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ c ＜ 8$，
原三角形周长范围是$3 + 5 + 2 ＜$周长$＜ 3 + 5 + 8$，即$10 ＜$周长$＜ 16$，
连接中点得到的三角形周长是原三角形周长的一半，所以范围是$5 ＜$新周长$＜ 8$，
选项中只有$5.5$在此范围内，
故选：A．

7. 填上适当的数，使下列等式成立：
(1)$x^2 + 12x +$______$=(x +$______$)^2$；
(2)$x^2 - 6x +$______$=(x -$______$)^2$；
(3)$x^2 -$______$x + \frac{1}{9}=(x -$______$)^2$；
(4)$x^2 + \frac{b}{a}x +$______$=(x +$______$)^2$．

答案：
(1)36；6
(2)9；3
(3)$\frac{2}{3}$；$\frac{1}{3}$
(4)$\frac{b^2}{4a^2}$；$\frac{b}{2a}$
解析：
(1)$x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$；
(2)$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$；
(3)$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = \left(x - \frac{1}{3}\right)^2$；
(4)$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$。

8. 若一元二次方程$x^2 = a(a ＞ 0)$的两个根分别是$m + 2$与$2m - 5$，则$m =$______，$a =$______．

答案： 1；9
解析：一元二次方程$x^2 = a(a ＞ 0)$的两个根互为相反数，
所以$m + 2 + 2m - 5 = 0$，$3m - 3 = 0$，$m = 1$，
则一根为$1 + 2 = 3$，所以$a = 3^2 = 9$。

9. 已知方程$x^2 + 4x + n = 0$可以配方成$(x + m)^2 = 3$，则$(n - m)^{2025} =$______．

答案： -1
解析：$x^2 + 4x + n = 0$，$x^2 + 4x = -n$，$x^2 + 4x + 4 = -n + 4$，$(x + 2)^2 = 4 - n$，
因为配方成$(x + m)^2 = 3$，所以$m = 2$，$4 - n = 3$，$n = 1$，
$(n - m)^{2025} = (1 - 2)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。

10.[教材变式]如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形空地上，修筑同样宽的两条道路(图中阴影部分)，余下的部分作为绿地，要使绿地的面积为375 m²，则路宽应为______m．

答案： 5
解析：设路宽为$x$m，
绿地面积可表示为$(30 - x)(20 - x) = 375$，
$600 - 50x + x^2 = 375$，$x^2 - 50x + 225 = 0$，$(x - 5)(x - 45) = 0$，
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 45$（舍去），
所以路宽应为$5$m。

11.[新定义](1)给出一种运算：对于函数$y = x^n$，规定$y' = nx^{n - 1}$．例如：若函数$y = x^4$，则$y' = 4x^3$．已知函数$y = x^3$，则方程$y' = 12$的解是______．
(2)对于任意实数$a$，$b$，定义$f(a, b) = a^2 + 5a - b$，如$f(2, 3) = 2^2 + 5×2 - 3$．若$f(x, 2) = 4$，则实数$x$的值为______．

答案：
(1)$x = ±2$
(2)$-6$或$1$
解析：
(1)函数$y = x^3$，则$y' = 3x^2$，
$3x^2 = 12$，$x^2 = 4$，$x = ±2$；
(2)$f(x, 2) = x^2 + 5x - 2 = 4$，$x^2 + 5x - 6 = 0$，$(x + 6)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = -6$，$x_2 = 1$。