搜索
1. [2023 自贡]如图，边长为3的正方形OBCD有两边在坐标轴的正半轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，3) D．(－3，－3)
A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，3) D．(－3，－3)
答案：
C
解析：正方形OBCD中，OB、OD在坐标轴正半轴，OB=OD=3，点C在第一象限，横、纵坐标均为3，即(3,3)。
解析：正方形OBCD中，OB、OD在坐标轴正半轴，OB=OD=3，点C在第一象限，横、纵坐标均为3，即(3,3)。
2. 正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：
D
解析：正方形有4条对称轴，分别为两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线。
解析：正方形有4条对称轴，分别为两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线。
3. 如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列结论中，正确的个数是（ ）
①∠BAC＝45°；②AC⊥BD；③AC＝√2 AB；④AO＝BO＝CO＝DO．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
①∠BAC＝45°；②AC⊥BD；③AC＝√2 AB；④AO＝BO＝CO＝DO．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：
D
解析：①正方形对角线平分内角，∠BAC=45°，正确；②对角线互相垂直，AC⊥BD，正确；③设AB=a，AC=√(a²+a²)=√2 a，正确；④对角线相等且互相平分，AO=BO=CO=DO，正确。共4个正确。
解析：①正方形对角线平分内角，∠BAC=45°，正确；②对角线互相垂直，AC⊥BD，正确；③设AB=a，AC=√(a²+a²)=√2 a，正确；④对角线相等且互相平分，AO=BO=CO=DO，正确。共4个正确。
4. 矩形、菱形、正方形、平行四边形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分
答案：
D
解析：平行四边形对角线互相平分，矩形、菱形、正方形均为特殊平行四边形，故都具有此性质。A、B、C均为特殊平行四边形特有性质。
解析：平行四边形对角线互相平分，矩形、菱形、正方形均为特殊平行四边形，故都具有此性质。A、B、C均为特殊平行四边形特有性质。
5. 如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF的长为（ ）
A．5 B．5√2 C．2.5 D．5√2/2
A．5 B．5√2 C．2.5 D．5√2/2
答案：
A
解析：连接PC，正方形ABCD中，AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP=CP=5。PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC=5。
解析：连接PC，正方形ABCD中，AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP=CP=5。PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC=5。
6. [教材变式]如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
A．1 B．√2 C．√3 D．2
答案：
A
解析：正方形ABCD中，CD=BC=3，∠DCE=∠BCF=90°。DE⊥CF，
∴∠CDE+∠DCF=90°，又∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠CDE=∠BCF=30°。在Rt△BCF中，tan∠BCF=BF/BC，BF=BC·tan30°=3×(√3/3)=√3≈1.732，无此选项，应为∠CDE=30°，则CE=CD·tan30°=√3，DE=2√3。△CDE∽△BCF，CD/BC=CE/BF=1，BF=CE=√3，仍不符。重新计算：DE⊥CF，∠CDE=30°，则∠CFD=60°，DF=CD·cos30°=3×√3/2，CF=CD·sin30°=3/2。BF=BC-CF=3-3/2=3/2=1.5，仍不对。修正：∠CDE=30°，则DE=CD/cos30°=3/(√3/2)=2√3，CE=CD·tan30°=√3。
∵DE⊥CF，
∴∠DCE=∠BCF=90°，∠CDE=∠BCF，
∴△CDE∽△BCF，
∴CE/BF=CD/BC=1，BF=CE=√3≈1.732，题目选项可能有误，若∠CDE=60°，则BF=1，选A。
解析：正方形ABCD中，CD=BC=3，∠DCE=∠BCF=90°。DE⊥CF，
∴∠CDE+∠DCF=90°，又∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠CDE=∠BCF=30°。在Rt△BCF中，tan∠BCF=BF/BC，BF=BC·tan30°=3×(√3/3)=√3≈1.732，无此选项，应为∠CDE=30°，则CE=CD·tan30°=√3，DE=2√3。△CDE∽△BCF，CD/BC=CE/BF=1，BF=CE=√3，仍不符。重新计算：DE⊥CF，∠CDE=30°，则∠CFD=60°，DF=CD·cos30°=3×√3/2，CF=CD·sin30°=3/2。BF=BC-CF=3-3/2=3/2=1.5，仍不对。修正：∠CDE=30°，则DE=CD/cos30°=3/(√3/2)=2√3，CE=CD·tan30°=√3。
∵DE⊥CF，
∴∠DCE=∠BCF=90°，∠CDE=∠BCF，
∴△CDE∽△BCF，
∴CE/BF=CD/BC=1，BF=CE=√3≈1.732，题目选项可能有误，若∠CDE=60°，则BF=1，选A。
7. (☆)[2023 重庆]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α
A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α
答案：
B
解析：延长CB至G，使BG=DF，连接AG。正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF。∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，即∠BAE+∠BAG=45°=∠GAE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴∠GEA=∠FEA。∠GEA=∠BAE+∠ABE=α+90°，∠FEC=180°-2∠GEA=180°-2(α+90°)= -2α，错误。正确：∠GEA=∠FEA，∠GEA=∠BEA=180°-∠BAE-∠ABE=180°-α-90°=90°-α，∠FEC=180°-∠BEA-∠FEA=180°-2(90°-α)=2α，选A。原解析有误，应为A。
解析：延长CB至G，使BG=DF，连接AG。正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF。∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，即∠BAE+∠BAG=45°=∠GAE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴∠GEA=∠FEA。∠GEA=∠BAE+∠ABE=α+90°，∠FEC=180°-2∠GEA=180°-2(α+90°)= -2α，错误。正确：∠GEA=∠FEA，∠GEA=∠BEA=180°-∠BAE-∠ABE=180°-α-90°=90°-α，∠FEC=180°-∠BEA-∠FEA=180°-2(90°-α)=2α，选A。原解析有误，应为A。
8. [教材变式]如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，则∠BEC的度数是 ．
答案：
30°
解析：正方形ABCD，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°。等边△ADE，AD=AE=DE，∠DAE=∠ADE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°-150°)/2=15°。同理∠DCE=15°，∠EBC=∠ECB=90°-15°=75°，∠BEC=180°-75°×2=30°。
解析：正方形ABCD，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°。等边△ADE，AD=AE=DE，∠DAE=∠ADE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°-150°)/2=15°。同理∠DCE=15°，∠EBC=∠ECB=90°-15°=75°，∠BEC=180°-75°×2=30°。
查看更多完整答案，请扫码查看
