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1. 用公式法解方程$2x^{2}-3x-1=0$，先确定a，b，c的值，正确的是（ ）
A. $a=2$，$b=-3$，$c=-1$
B. $a=-2$，$b=3$，$c=-1$
C. $a=-2$，$b=-3$，$c=-1$
D. $a=2$，$b=3$，$c=-1$
A. $a=2$，$b=-3$，$c=-1$
B. $a=-2$，$b=3$，$c=-1$
C. $a=-2$，$b=-3$，$c=-1$
D. $a=2$，$b=3$，$c=-1$
答案：
A
解析：一元二次方程的一般形式为$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），在方程$2x^{2}-3x-1=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，故选A。
解析：一元二次方程的一般形式为$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），在方程$2x^{2}-3x-1=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，故选A。
2. [2023台湾]利用公式法，可得一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$的两解为a，b，且$a ＞ b$，则a的值为（ ）
A. $\frac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B. $\frac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C. $\frac{11+\sqrt{109}}{6}$
D. $\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
A. $\frac{-11+\sqrt{109}}{6}$
B. $\frac{-11+\sqrt{133}}{6}$
C. $\frac{11+\sqrt{109}}{6}$
D. $\frac{11+\sqrt{133}}{6}$
答案：
D
解析：对于一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$，$a=3$，$b=-11$，$c=-1$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4×3×(-1)=121 + 12=133$，则方程的解为$x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$，因为$a ＞ b$，所以$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，故选D。
解析：对于一元二次方程$3x^{2}-11x-1=0$，$a=3$，$b=-11$，$c=-1$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4×3×(-1)=121 + 12=133$，则方程的解为$x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$，因为$a ＞ b$，所以$a=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，故选D。
3. 一元二次方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
答案：
B
解析：在方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中，$a=4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$，判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×4×\frac{1}{4}=4 - 4=0$，所以方程有两个相等的实数根，故选B。
解析：在方程$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$中，$a=4$，$b=-2$，$c=\frac{1}{4}$，判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×4×\frac{1}{4}=4 - 4=0$，所以方程有两个相等的实数根，故选B。
4. [2023房山]关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. $m＜\frac{3}{2}$
B. $m＞3$
C. $m\leq3$
D. $m＜3$
A. $m＜\frac{3}{2}$
B. $m＞3$
C. $m\leq3$
D. $m＜3$
答案：
D
解析：一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m - 2$，因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×1×(m - 2)=4 - 4m + 8=12 - 4m＞0$，解得$m＜3$，故选D。
解析：一元二次方程$x^{2}-2x+m-2=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m - 2$，因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta =(-2)^{2}-4×1×(m - 2)=4 - 4m + 8=12 - 4m＞0$，解得$m＜3$，故选D。
5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. $x^{2}-2x=0$
B. $x^{2}+4x-1=0$
C. $2x^{2}-4x+3=0$
D. $3x^{2}=5x-2$
A. $x^{2}-2x=0$
B. $x^{2}+4x-1=0$
C. $2x^{2}-4x+3=0$
D. $3x^{2}=5x-2$
答案：
C
解析：A选项，方程$x^{2}-2x=0$，判别式$\Delta =(-2)^{2}-0=4＞0$，有两个不相等的实数根；B选项，方程$x^{2}+4x - 1=0$，判别式$\Delta =16 + 4=20＞0$，有两个不相等的实数根；C选项，方程$2x^{2}-4x + 3=0$，判别式$\Delta =16 - 24=-8＜0$，没有实数根；D选项，方程$3x^{2}-5x + 2=0$，判别式$\Delta =25 - 24=1＞0$，有两个不相等的实数根，故选C。
解析：A选项，方程$x^{2}-2x=0$，判别式$\Delta =(-2)^{2}-0=4＞0$，有两个不相等的实数根；B选项，方程$x^{2}+4x - 1=0$，判别式$\Delta =16 + 4=20＞0$，有两个不相等的实数根；C选项，方程$2x^{2}-4x + 3=0$，判别式$\Delta =16 - 24=-8＜0$，没有实数根；D选项，方程$3x^{2}-5x + 2=0$，判别式$\Delta =25 - 24=1＞0$，有两个不相等的实数根，故选C。
6. (☆)已知命题“关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+1=0$，当$b＜0$时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A. $b=-1$
B. $b=2$
C. $b=-2$
D. $b=0$
A. $b=-1$
B. $b=2$
C. $b=-2$
D. $b=0$
答案：
A
解析：要说明命题是假命题，需找到$b＜0$时方程没有实数根的情况。对于方程$x^{2}+bx + 1=0$，判别式$\Delta =b^{2}-4$，当$b=-1$时，$\Delta =1 - 4=-3＜0$，方程没有实数根，所以$b=-1$可作为反例，故选A。
解析：要说明命题是假命题，需找到$b＜0$时方程没有实数根的情况。对于方程$x^{2}+bx + 1=0$，判别式$\Delta =b^{2}-4$，当$b=-1$时，$\Delta =1 - 4=-3＜0$，方程没有实数根，所以$b=-1$可作为反例，故选A。
7. 当______≥0时，一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$的求根公式为______．
答案：
$\Delta =b^{2}-4ac$；$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
解析：一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$，当判别式$\Delta =b^{2}-4ac\geq0$时，方程有实数根，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
解析：一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$，当判别式$\Delta =b^{2}-4ac\geq0$时，方程有实数根，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
8. [2023聊城]若一元二次方程$mx^{2}+2x+1=0$有实数解，则m的取值范围是______．
答案：
$m\leq1$且$m\neq0$
解析：因为方程是一元二次方程，所以$m\neq0$，又因为方程有实数解，所以判别式$\Delta =2^{2}-4× m×1=4 - 4m\geq0$，解得$m\leq1$，综上$m$的取值范围是$m\leq1$且$m\neq0$。
解析：因为方程是一元二次方程，所以$m\neq0$，又因为方程有实数解，所以判别式$\Delta =2^{2}-4× m×1=4 - 4m\geq0$，解得$m\leq1$，综上$m$的取值范围是$m\leq1$且$m\neq0$。
9. (☆)关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0(a\neq0)$．当$b=a + 2$时，利用根的判别式判断方程根的情况为：______．
答案：
有两个不相等的实数根
解析：当$b=a + 2$时，判别式$\Delta =b^{2}-4a×1=(a + 2)^{2}-4a=a^{2}+4a + 4 - 4a=a^{2}+4$，因为$a\neq0$，所以$a^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
解析：当$b=a + 2$时，判别式$\Delta =b^{2}-4a×1=(a + 2)^{2}-4a=a^{2}+4a + 4 - 4a=a^{2}+4$，因为$a\neq0$，所以$a^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
10. (★)若关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}x^{2}-2mx-4m + 1=0$有两个相等的实数根，则$(m - 2)^{2}-2m(m - 1)$的值为______．
答案：
$\frac{5}{2}$
解析：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta =(-2m)^{2}-4×\frac{1}{2}×(-4m + 1)=4m^{2}+8m - 2=0$，化简得$2m^{2}+4m - 1=0$，即$m^{2}+2m=\frac{1}{2}$。$(m - 2)^{2}-2m(m - 1)=m^{2}-4m + 4 - 2m^{2}+2m=-m^{2}-2m + 4=-(m^{2}+2m)+4=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$（注：原答案可能有误，经重新计算应为$\frac{7}{2}$，若按题目要求以给定答案为准则为$\frac{5}{2}$，此处按正确计算过程修正）。
解析：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta =(-2m)^{2}-4×\frac{1}{2}×(-4m + 1)=4m^{2}+8m - 2=0$，化简得$2m^{2}+4m - 1=0$，即$m^{2}+2m=\frac{1}{2}$。$(m - 2)^{2}-2m(m - 1)=m^{2}-4m + 4 - 2m^{2}+2m=-m^{2}-2m + 4=-(m^{2}+2m)+4=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$（注：原答案可能有误，经重新计算应为$\frac{7}{2}$，若按题目要求以给定答案为准则为$\frac{5}{2}$，此处按正确计算过程修正）。
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