《2025年课时分层作业本九年级数学上册北师大版》

1. [教材变式]如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A'，∠B=∠B'．关于证明“两角分别相等的两个三角形相似”的思路的说法错误的是( )
A．首先在△ABC的边AB或它的延长线上截取AD=A'B'，作DE//BC
B．然后根据对应边成比例且夹角相等证明△ADE∽△ABC
C．接着证明△ADE≌△A'B'C'
D．最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A'B'C'

答案： B
解析：证明思路是作DE//BC得△ADE∽△ABC（AA），再证△ADE≌△A'B'C'，从而△ABC∽△A'B'C'，B选项“对应边成比例且夹角相等”表述错误，选B。

2. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是( )
A．△ABD B．△DOA C．△ACD D．△ABO

答案： B
解析：
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△DOA∽△BOC，选B。

3. [教材变式]如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )
A．$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AB}$ B．$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{BP}$ C．∠ABP=∠C D．∠APB=∠ABC

答案： B
解析：A选项为两边成比例且夹角相等；C、D选项为两角相等，均能判定；B选项对应边不成比例，不能判定，选B。

4. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD=3∶2，则$\frac{AD}{CD}$的值为( )
A．$\frac{3}{2}$ B．$\frac{2}{3}$ C．$\frac{\sqrt{6}}{2}$ D．$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： C
解析：设BD=3k，CD=2k，由射影定理AD²=BD·CD=6k²，AD=$\sqrt{6}$k，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{6}k}{2k}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选C。

5. [2022达州]如图，点E在矩形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为( )
A．9 B．12 C．15 D．18

答案： C
解析：设BF=x，CD=AB=3x，AE=AB-BE=3x-4=EF。CF=BC-BF=AD-x。在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF²=(3x-4)²=4²+x²，解得x=3，AD=BC=BF+CF=3+(AD-3)，AD=15，选C。

6. (☆)[2023雅安]如图，在□ABCD中，点F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10

答案： A
解析：
∵AD//BC，
∴△DEF∽△BEC，$\frac{EF}{EC}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{3}$，设DF=k，BC=AD=3k，AF=2k。
∵AG//CD，
∴△AGF∽△DCF，$\frac{GF}{CF}=\frac{AF}{DF}=\frac{2k}{k}=2$，GF=2CF=2(EF+EC)=8（原解析有误，修正：CF=EF+EC=4，GF=2CF=8，选C）。