《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例1
一个直角三角形的两条直角边长分别是1,2,则以该直角三角形的斜边为边的正方形的面积为5；设该正方形的边长为$b$,则$b^{2}= $______5,$b$既不是整数,也不是分数,所以$b$______不是有理数(填“是”或“不是”)。
[解答] 根据勾股定理可得,以该直角三角形的斜边为边的正方形的面积为$1^{2}+2^{2}= 5$,则$b^{2}= 5$,所以$b$不是有理数。故答案为5,5,不是。

答案： 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
该直角三角形两条直角边长分别为1和2，故斜边的平方为$1^{2}+2^{2}=1 + 4=5$，所以以斜边为边的正方形面积为5。
设正方形边长为$b$，则$b^{2}=5$。
因为$b$既不是整数也不是分数，所以$b$不是有理数。
5,5,不是

例2

如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
(1) 在图(1)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数；
(2) 在图(2)中,画一个直角三角形,使它们的三边长都不是有理数；
(3) 在图(3)中,画一个正方形,使它的面积是5。

[解答] (1) 如图(1),画一个边长分别为3,4,5的三角形,$Rt\triangle ABC$即为所求。
(2) 利用勾股定理,确定一边长不是有理数,如图(2),$DF^{2}= 2$,再以点$D$为直角顶点构造直角,$DE^{2}= 8$,由勾股定理可知$EF^{2}= 10$,$Rt\triangle DEF$即为所求。
(3) 利用勾股定理,确定正方形的边长,正方形的面积是5,故正方形边长的平方是5,由勾股定理可知$1^{2}+2^{2}= 5$,如图(3),正方形$SPQR$即为所求。

答案：
(1) 在图
(1)中，取格点 $A(0, 3)$, $B(4, 0)$, $C(0, 0)$，连接 $AB$, $AC$, $BC$，形成直角三角形 $Rt\triangle ABC$，三边长分别为 $3$, $4$, $5$。
(2) 在图
(2)中，取格点 $D(0, 0)$, $E(2, 2)$, $F(1, 0)$，连接 $DE$, $DF$, $EF$，形成直角三角形 $Rt\triangle DEF$，三边长分别为 $\sqrt{2}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{10}$，均不是有理数。
(3) 在图
(3)中，取格点 $S(0, 0)$, $P(2, 1)$, $Q(1, 3)$, $R(-1, 2)$，连接 $SP$, $PQ$, $QR$, $RS$，形成正方形 $SPQR$，面积为 $5$。