《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 15$,$AC = 13$,$BC = 4$,求$BC边上的高AD$的长。
[解答] 设$CD = x$。在$Rt\triangle ABD和Rt\triangle ACD$中,
由$AB^{2}-BD^{2}= AC^{2}-CD^{2}$可得,$15^{2}-(4 + x)^{2}= 13^{2}-x^{2}$,
解得$x = 5$,即$CD = 5$。
所以$AD^{2}= AC^{2}-CD^{2}= 13^{2}-5^{2}= 144$,即$AD = 12$。

答案： 设 $CD = x$，则 $BD = BC + CD = 4 + x$（在$Rt\triangle ABD$中$BD$为直角边外的一段，因此高$AD$对应的底为$BD$在$B$到$D$的延长线上，这里假设$C$在$B、D$之间）。
在$Rt \triangle ABD$和$Rt \triangle ACD$中，根据勾股定理，有：
$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$。
$AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$。
代入已知数值，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = AD^{2}$。
$13^{2} - x^{2} = AD^{2}$。
将两个等式联立，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = 13^{2} - x^{2}$。
$225 - (16 + 8x + x^{2}) = 169 - x^{2}$。
$225 - 16 - 8x - x^{2} = 169 - x^{2}$。
$209 - 8x = 169$。
$8x = 40$。
$x = 5$。
所以，$CD = 5$。
接下来，利用勾股定理求出$AD$的长度：
$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$。
$AD^{2} = 13^{2} - 5^{2}$。
$AD^{2} = 169 - 25$。
$AD^{2} = 144$。
$AD = 12$（负值舍去，因为长度不能为负）。
所以，$BC$边上的高$AD$的长度为$12$。

1. 如图,直线$l上有三个正方形a$,$b$,$c$,若$a$,$c的面积分别为5和11$,则$b$的面积为(C)。

A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$

答案： C

2. 如图,在离水面高度为$8$米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子$BC的长为17$米,几分钟后船到达点$D$的位置,此时绳子$CD的长为10$米,则船向岸边移动了9米。

答案： 9

3. 在$\triangle ABC$中,$AB = 15$ $cm$,$AC = 20$ $cm$,高$AD = 12$ $cm$,则$BC$的长为25cm或7cm。

答案： 25cm或7cm

4. 在平静的湖面上有一枝红莲,高出水面$1$ $m$,一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面。已知红莲移动的水平距离为$2$ $m$,求水深。

答案： 1.5m