《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

(1)如图1,AE是∠MAD的平分线,点C是AE上一点,点B是AM上一点,在AD上求作一点P,使得△ABC≌△APC,请保留清晰的作图痕迹。
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 60°,BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,CF与BE相交于点O,请探究线段BC,BF,CE之间的数量关系,并说明理由。
[解答](1)当AB = AP时,
因为AE是∠MAD的平分线,
所以∠BAC = ∠PAC。
在△ABC和△APC中,
$\begin{cases}AB = AP, \\∠BAC = ∠PAC, \\AC = AC,\end{cases} $
所以△ABC≌△APC(SAS)。
所以以点A为圆心,以AB长为半径画弧交AD于一点,则此点为所要求的点P,如下图1所示。
(2)BC = BF + CE。理由如下：
如图2,在BC上截取BD = BF。
在△BFO和△BDO中,
$\begin{cases}BF = BD, \\∠FBO = ∠DBO, \\BO = BO,\end{cases} $
所以△BFO≌△BDO(SAS),
所以∠BOF = ∠BOD。
因为∠A = 60°,BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,CF与BE相交于点O,
所以∠BOC = 180° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠ACB = 180° - 60° = 120°,
所以∠COE = 180° - 120° = 60°,
所以∠BOD = ∠BOF = ∠COE = 60°,
所以∠COD = ∠BOC - ∠BOD = 120° - 60° = 60°,所以∠COE = ∠COD = 60°。
在△COE和△COD中,
$\begin{cases}∠COE = ∠COD, \\CO = CO, \\∠OCE = ∠OCD,\end{cases} $
所以△COE≌△COD(ASA),
所以CE = CD,
所以BC = BD + CD = BF + CE。

答案：
(1) 以点$A$为圆心，以$AB$长为半径画弧交$AD$于点$P$，点$P$即为所求。
(2) $BC = BF + CE$。
理由：
在$BC$上截取$BD = BF$，
在$\triangle BFO$和$\triangle BDO$中，
$\begin{cases}BF = BD, \\ \angle FBO = \angle DBO, \\ BO = BO,\end{cases}$
$\therefore \triangle BFO \cong \triangle BDO (SAS)$，
$\therefore \angle BOF = \angle BOD$，
$\because \angle A = 60^{\circ}$，$BE$，$CF$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，$CF$与$BE$相交于点$O$，
$\therefore \angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC - \frac{1}{2}\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle COE = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOD = \angle BOF = \angle COE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle COD = \angle BOC - \angle BOD = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle COE = \angle COD = 60^{\circ}$，
在$\triangle COE$和$\triangle COD$中，
$\begin{cases}\angle COE = \angle COD, \\ CO = CO, \\ \angle OCE = \angle OCD,\end{cases}$
$\therefore \triangle COE \cong \triangle COD (ASA)$，
$\therefore CE = CD$，
$\therefore BC = BD + CD = BF + CE$。