《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

8. 如图,在△ABC中,AB= AC,点D为BC边上一点,∠B= 30°,∠DAB= 45°,求∠DAC的度数。

答案： $75^{\circ }$

9. 如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且BD= CE,AD与BE相交于点F。

(1)试判断AD与BE是否相等,并说明理由；
(2)求∠AFE的度数。

答案： 解：（1）$AD=BE$。理由如下：因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle ABD=\angle C=60^{\circ }$，$AB=BC$。在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中，$AB=BC$，$\angle ABD=\angle C$，$BD=CE$，所以$\triangle ABD\cong \triangle BCE(SAS)$。所以$AD=BE$。（2）由（1）知$\angle ADB=\angle BEC$，所以$\angle AFE=\angle BFD=180^{\circ }-\angle EBC-\angle ADB=180^{\circ }-\angle EBC-\angle BEC=\angle C=60^{\circ }$。

10. (1)若等腰三角形的一个内角为40°,则另外两个内角的度数分别为$40^{\circ }$，$100^{\circ }$或$70^{\circ }$，$70^{\circ }$；
(2)若等腰三角形的一个内角为60°,则另外两个内角的度数分别为$60^{\circ }$，$60^{\circ }$；
(3)若等腰三角形的一个内角为100°,则另外两个内角的度数分别为$40^{\circ }$，$40^{\circ }$；
(4)若等腰三角形的一个内角为α,
① 如果另外两个内角的度数有两种情况,那么α的取值范围是$0^{\circ }＜\angle \alpha ＜90^{\circ }$且$\angle \alpha \neq 60^{\circ }$；
② 如果另外两个内角的度数只有一种情况,那么α的取值范围是$90^{\circ }\leqslant \angle \alpha ＜180^{\circ }$或$\angle \alpha =60^{\circ }$。

答案： （1）$40^{\circ }$，$100^{\circ }$或$70^{\circ }$，$70^{\circ }$（2）$60^{\circ }$，$60^{\circ }$（3）$40^{\circ }$，$40^{\circ }$（4）①$0^{\circ }＜\angle \alpha ＜90^{\circ }$且$\angle \alpha \neq 60^{\circ }$②$90^{\circ }\leqslant \angle \alpha ＜180^{\circ }$或$\angle \alpha =60^{\circ }$

例1 如图,点E,F在BC上,BF= CE,∠A= ∠D,∠B= ∠C,AF与DE交于点O。试判断△OEF的形状,并说明理由。

[解答] △OEF是等腰三角形。
理由如下：
因为∠A= ∠D,∠B= ∠C,BF= CE,
所以△ABF≌△DCE(AAS),
所以∠AFB= ∠DEC,
所以OE= OF,
即△OEF是等腰三角形。

答案： △OEF是等腰三角形。
理由如下：
∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF。
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D，
∠B=∠C，
BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴∠AEB=∠DFC，
∵∠AEB+∠OEF=180°，∠DFC+∠OFE=180°，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰三角形。