《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例 1 如图所示,已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $36\mathrm{cm}$,$BE$,$CF$ 分别为边 $AC$,$AB$ 上的中线,$BE$,$CF$ 相交于点 $O$,$AO$ 的延长线交 $BC$ 于点 $D$,且 $AF = 6\mathrm{cm}$,$AE = 4\mathrm{cm}$,求 $BD$ 的长。
[解答] 因为 $BE$,$CF$ 分别为边 $AC$,$AB$ 上的中线,$AF = 6\mathrm{cm}$,$AE = 4\mathrm{cm}$,
所以 $AB = 2AF = 12\mathrm{cm}$,$AC = 2AE = 8\mathrm{cm}$,
所以 $BC = 36 - 12 - 8 = 16(\mathrm{cm})$。
因为中线 $BE$,$CF$ 相交于点 $O$,所以点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的重心。
因为 $AD$ 过点 $O$,所以 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线,
所以 $BD= \frac{1}{2}BC = 8\mathrm{cm}$。

答案： 解答:
因为 $BE$、$CF$ 分别为边 $AC$、$AB$ 上的中线，且 $AF = 6 \mathrm{cm}$，$AE = 4 \mathrm{cm}$，
所以 $AB = 2 × AF = 12 \mathrm{cm}$，$AC = 2 × AE = 8 \mathrm{cm}$。
因为 $\triangle ABC$ 的周长为 $36 \mathrm{cm}$，
所以 $BC = 36 - AB - AC = 36 - 12 - 8 = 16 \mathrm{cm}$。
因为中线 $BE$、$CF$ 相交于点 $O$，
所以点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的重心。
因为 $AD$ 过点 $O$，
所以 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
因此 $BD = \frac{1}{2} BC = 8 \mathrm{cm}$。
最终结论：$BD = 8 \mathrm{cm}$。

例 2 如图所示,在 $\triangle ABC$ 中,$D$,$E$ 分别是 $BC$,$AD$ 的中点,$\triangle ABC$ 的面积是 $4\mathrm{cm}^2$,那么 $\triangle BEC$ 的面积是(B)。

A.$2.5\mathrm{cm}^2$
B.$2\mathrm{cm}^2$
C.$1.5\mathrm{cm}^2$
D.$1\mathrm{cm}^2$
[解答] 因为三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$S_{\triangle ABC}= 4\mathrm{cm}^2$,所以 $S_{\triangle ABD}= S_{\triangle ACD}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}= 2\mathrm{cm}^2$。
又因为 $E$ 是 $AD$ 的中点,
所以 $BE$ 和 $CE$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的中线,
所以 $S_{\triangle BDE}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABD}= 1\mathrm{cm}^2$,$S_{\triangle CDE}= \frac{1}{2}S_{\triangle ACD}= 1\mathrm{cm}^2$,
所以 $S_{\triangle BEC}= S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDE}= 2\mathrm{cm}^2$。故选 B。

答案： B