《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,角平分线 $BD$ 与 $CE$ 相交于点 $O$,若 $\angle A = n^{\circ}$,求 $\angle COD$ 的度数。

答案： 解：因为BD，CE为角平分线，所以∠CBD＝∠ABD＝$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE＝∠ACE＝$\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即∠A＋2∠CBD＋2∠BCE＝180°，
所以∠CBD＋∠BCE＝$\frac{1}{2}$（180°－∠A）＝90°－$\frac{1}{2}$n°。
在△OBC中，∠BOC＝180°－（∠CBD＋∠BCE）＝90°＋$\frac{1}{2}$n°，
所以∠COD＝180°－∠BOC＝90°－$\frac{1}{2}$n°。

8. 已知在等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,$AC$ 边上的中线把该三角形的周长分为 $13.5$ 和 $11.5$ 两个部分,求这个等腰三角形各边的长。

答案： 解：设在△ABC中，BD是AC边上的中线。当AB＞BC时（如图1所示），AB－BC＝13.5－11.5＝2，即AB＝BC＋2，
则2（BC＋2）＋BC＝13.5＋11.5，解得BC＝7。
所以AB＝AC＝BC＋2＝9，符合三角形的三边关系。
当AB＜BC时（如图2所示），
BC－AB＝13.5－11.5＝2，即BC＝AB＋2。
因为AC＝AB，所以2AB＋AB＋2＝13.5＋11.5，解得AB＝$\frac{23}{3}$，AC＝$\frac{23}{3}$，BC＝$\frac{23}{3}$＋2＝$\frac{29}{3}$，符合三角形的三边关系。
综上，这个等腰三角形三边长分别为9，9，7或$\frac{23}{3}$，$\frac{23}{3}$，$\frac{29}{3}$。

9. 小明先在电脑上画了一个 $\angle MAN = 50^{\circ}$,再在 $AM$,$AN$ 上分别取点 $B$,$C$,连接 $BC$,$\angle MBC$ 和 $\angle NCB$ 的平分线交于点 $P$(如图),并且测量出 $\angle P$ 的度数。小明让射线 $AM$,$AN$ 不动,分别拖动点 $B$ 和点 $C$,保持 $BP$ 和 $CP$ 分别是 $\angle MBC$ 和 $\angle NCB$ 的平分线,结果发现 $\angle P$ 的度数不变。你能帮助小明解释这个现象吗？

答案： 解：因为∠P＝180°－$\frac{1}{2}$∠MBC－$\frac{1}{2}$∠NCB
＝180°－$\frac{1}{2}$（180°－∠ABC）－$\frac{1}{2}$（180°－∠ACB）
＝180°－90°＋$\frac{1}{2}$∠ABC－90°＋$\frac{1}{2}$∠ACB
＝$\frac{1}{2}$∠ABC＋$\frac{1}{2}$∠ACB
＝$\frac{1}{2}$（∠ABC＋∠ACB）
＝$\frac{1}{2}$（180°－∠A）＝90°－$\frac{1}{2}$∠A，
又∠A＝50°不变，所以∠P的度数不变。

例 如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD是AB边上的高,AB= 13 cm,BC= 12 cm,AC= 5 cm,求：

(1) △ABC的面积；
(2) CD的长。
[解答] (1) 因为在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 5 cm,BC= 12 cm,
所以 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30 \, (cm^2) $。
(2) 因为CD是AB边上的高,所以 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CD $,
即 $ 30 = \frac{1}{2} × 13 × CD $,所以 $ CD = \frac{60}{13} \, cm $。

答案：
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×5×12=30(cm^2)$。
(2) 因为CD是AB边上的高，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
即$30=\frac{1}{2}×13× CD$，解得$CD=\frac{60}{13}cm$。