《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

24. (10分)如图,已知AP//BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D。试说明AD+BC= AB。

答案：
解：在 $ AB $ 上截取 $ AF=AD $，连接 $ EF $，如图。

因为 $ AE $ 平分 $ \angle PAB $，
所以 $ \angle DAE=\angle FAE $。
在 $ \triangle DAE $ 和 $ \triangle FAE $ 中，
$ \begin{cases} AD=AF, \\ \angle DAE=\angle FAE, \\ AE=AE, \end{cases} $
所以 $ \triangle DAE\cong\triangle FAE(SAS) $，
所以 $ \angle AFE=\angle ADE $。
因为 $ AD// BC $，所以 $ \angle ADE+\angle C=180° $。
因为 $ \angle AFE+\angle EFB=180° $，
所以 $ \angle EFB=\angle C $。
因为 $ BE $ 平分 $ \angle ABC $，
所以 $ \angle EBF=\angle EBC $。
在 $ \triangle BEF $ 和 $ \triangle BEC $ 中，
$ \begin{cases} \angle EFB=\angle C, \\ \angle EBF=\angle EBC, \\ BE=BE, \end{cases} $
所以 $ \triangle BEF\cong\triangle BEC(AAS) $，
所以 $ BC=BF $。
所以 $ AB=AF+BF=AD+BC $，
即 $ AD+BC=AB $。

25. (12分)如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,AD平分∠MAC,交BC于点D。

(1) 试说明∠BAM= ∠C；
(2) 判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由。

答案： 解：（1）因为 $ AM\perp BC $，
所以 $ \angle ABC+\angle BAM=90° $。
因为 $ \angle BAC=90° $，
所以 $ \angle ABC+\angle C=90° $。
所以 $ \angle BAM=\angle C $。
（2）$ BE $ 垂直平分 $ AD $。理由如下：
因为 $ AD $ 平分 $ \angle MAC $，
所以 $ \angle 3=\angle 4 $。
因为 $ \angle BAD=\angle BAM+\angle 3 $，$ \angle ADB=\angle C+\angle 4 $，$ \angle BAM=\angle C $，
所以 $ \angle BAD=\angle ADB $。
所以 $ AB=BD $，$ \triangle ABD $ 为等腰三角形。
因为 $ BE $ 平分 $ \angle ABD $，
所以 $ BE $ 垂直平分 $ AD $。