《2025年同步练习册山东教育出版社七年级数学上册鲁教版五四制》

例1 已知$a = 2m^{2}-mn$,$b = mn - 2n^{2}$,$c = m^{2}-n^{2}(m\neq n)$,用“$＜$”表示$a$,$b$,$c$的大小关系为$b＜c＜a$。
[解答] 解法1：令$m = 1$,$n = 0$,
则$a = 2$,$b = 0$,$c = 1$。
因为$0 ＜ 1 ＜ 2$,
所以$b ＜ c ＜ a$。
解法2：因为$a - c= (2m^{2}-mn)-(m^{2}-n^{2})= (m - 0.5n)^{2}+0.75n^{2}＞0$,
所以$c ＜ a$。
因为$c - b= (m^{2}-n^{2})-(mn - 2n^{2})= (m - 0.5n)^{2}+0.75n^{2}＞0$,
所以$b ＜ c$,
所以$b ＜ c ＜ a$。故答案为$b ＜ c ＜ a$。
代数式的比较,常用的方法是作差法或者作商法,由于填空题不需要解答过程,因此还可以考虑特殊值代入法。考虑到答案唯一,因此特殊值代入法最合适,也最简单。

答案： 令$m = 1$，$n = 0$，
则$a = 2×1^{2}-1×0=2$，$b = 1×0 - 2×0^{2}=0$，$c = 1^{2}-0^{2}=1$。
因为$0＜1＜2$，
所以$b＜c＜a$。
故答案为$b＜c＜a$。

例2 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AC = BC = 5$,$S_{\triangle ACB}= 10$,$D为底边AB$上一动点,$DE\bot AC$,$DF\bot BC$,垂足分别为$E$,$F$,则$DE + DF= $4。

[解答] 方法一：连接$CD$。

因为$S_{\triangle ACB}= 10$,
所以$\frac{1}{2}AC\cdot DE+\frac{1}{2}BC\cdot DF = 10$。
因为$AC = BC = 5$,
所以$\frac{1}{2}×5× DE+\frac{1}{2}×5× DF = 10$。
所以$DE + DF = 4$。
方法二：因为$D$是动点,所以可以寻找$D$的特殊位置解决问题,例如当点$D运动到与点A$重合,此时$DE + DF即为AF$的长度。

因为$S_{\triangle ACB}= 10$,
所以$\frac{1}{2}BC\cdot AF = 10$。
因为$BC = 5$,
所以$AF = 4$,
即$DE + DF = 4$。

答案： $ 4 $