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7. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°。在边BC上有一点P,连结AP,且PA= PB,若AC= 2,CB= 5,求PA的长。
答案：
$\frac{29}{10}$
8. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB= 4,CD是△ABC的中线,E是CD的中点,连结AE,BE,若AE⊥BE,垂足为E,求$AC^2$的值。
答案：
12
1. 一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长为( )
A.18cm
B.20cm
C.24cm
D.25cm
A.18cm
B.20cm
C.24cm
D.25cm
答案：
D
2. 如图,在△ABC中,∠B= 50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD= CF,则∠ACD+∠CED= ( )
A.125°
B.145°
C.175°
D.190°
A.125°
B.145°
C.175°
D.190°
答案：
C
3. 如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB= ∠BCD= 90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,它们的面积分别是$S_1,S_2,S_3,S_4$。若$S_1+S_4= 100$,$S_3= 36$,则$S_2$的值是______。
答案：
64
4. 如图,在等边△ABC中,BC= 2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长是______。
答案：
$\frac{5}{4}$
5. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,CE是AB上的中线,CF是∠BCA的平分线。求证:∠1= ∠2。
答案：
【解析】：本题可根据直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及角平分线的性质来证明$\angle1 = \angle2$。
步骤一：根据直角三角形斜边中线的性质得到$CE = AE$，进而推出$\angle EAC=\angle ECA$。
在$Rt\triangle ABC$中，$CE$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CE = AE=\frac{1}{2}AB$。
因为$CE = AE$，所以$\triangle ACE$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，可得$\angle EAC=\angle ECA$。
步骤二：根据$CD\perp AB$得到$\angle ADC = 90^{\circ}$，进而推出$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
已知$CD$是斜边$AB$上的高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，即$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
步骤三：根据$\angle ACB = 90^{\circ}$得到$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，进而推出$\angle ACD=\angle ECB$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，又因为$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$且$\angle EAC=\angle ECA$，所以$\angle ACD=\angle ECB$。
步骤四：根据角平分线的性质得到$\angle ACF=\angle ECF$。
已知$CF$是$\angle BCA$的平分线，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，可得$\angle ACF=\angle ECF$。
步骤五：通过角的运算证明$\angle1 = \angle2$。
因为$\angle1=\angle ACF - \angle ACD$，$\angle2=\angle ECF - \angle ECB$，又因为$\angle ACF=\angle ECF$，$\angle ACD=\angle ECB$，所以$\angle1 = \angle2$。
【答案】：证明：
∵$CE$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，
∴$CE = AE=\frac{1}{2}AB$，
∴$\angle EAC=\angle ECA$。
∵$CD\perp AB$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，即$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD=\angle ECB$。
∵$CF$是$\angle BCA$的平分线，
∴$\angle ACF=\angle ECF$。
∵$\angle1=\angle ACF - \angle ACD$，$\angle2=\angle ECF - \angle ECB$，
∴$\angle1 = \angle2$。
步骤一：根据直角三角形斜边中线的性质得到$CE = AE$，进而推出$\angle EAC=\angle ECA$。
在$Rt\triangle ABC$中，$CE$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CE = AE=\frac{1}{2}AB$。
因为$CE = AE$，所以$\triangle ACE$是等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，可得$\angle EAC=\angle ECA$。
步骤二：根据$CD\perp AB$得到$\angle ADC = 90^{\circ}$，进而推出$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
已知$CD$是斜边$AB$上的高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，即$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
步骤三：根据$\angle ACB = 90^{\circ}$得到$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，进而推出$\angle ACD=\angle ECB$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，又因为$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$且$\angle EAC=\angle ECA$，所以$\angle ACD=\angle ECB$。
步骤四：根据角平分线的性质得到$\angle ACF=\angle ECF$。
已知$CF$是$\angle BCA$的平分线，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，可得$\angle ACF=\angle ECF$。
步骤五：通过角的运算证明$\angle1 = \angle2$。
因为$\angle1=\angle ACF - \angle ACD$，$\angle2=\angle ECF - \angle ECB$，又因为$\angle ACF=\angle ECF$，$\angle ACD=\angle ECB$，所以$\angle1 = \angle2$。
【答案】：证明：
∵$CE$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，
∴$CE = AE=\frac{1}{2}AB$，
∴$\angle EAC=\angle ECA$。
∵$CD\perp AB$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，即$\angle ACD+\angle EAC = 90^{\circ}$。
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ECA+\angle ECB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ACD=\angle ECB$。
∵$CF$是$\angle BCA$的平分线，
∴$\angle ACF=\angle ECF$。
∵$\angle1=\angle ACF - \angle ACD$，$\angle2=\angle ECF - \angle ECB$，
∴$\angle1 = \angle2$。
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