《2025年预学与导学四年级数学上册人教版》

1. 填空。
(1)70÷14= (70÷2)÷(14÷□)
156÷12= (□×5)÷(12×□)
384÷16= (384÷□)÷(16÷□)
225÷25= (225×□)÷(25×4)
(2)甲数除以乙数的商是80。
①如果甲数除以2,乙数不变,商是( )。
②如果乙数除以2,甲数不变,商是( )。
③如果甲数除以2,乙数也除以2,商是( )。
④如果甲数除以2,乙数乘2,商是( )。

答案： 解析：
(1) 这一部分考察的是除法运算中商的变化规律，即被除数与除数同时乘以或除以同一个数，商不变。
对于 $70 ÷ 14 = (70 ÷ 2) ÷ (14 ÷ □)$，显然$□$应填$2$，因为$14 ÷ 2$表示除数减半，为了保持商不变，被除数$70$也应减半，即除以$2$。
对于 $156 ÷ 12 = (□ × 5) ÷ (12 × □)$，为了保持商不变，被除数和除数需要同时乘以相同的数，这里选的是$5$，所以两个$□$都应填$156$和$5$的商的倒数对应的被除数部分，简化为直接填$156$对应的乘以$5$的数，即第一个$□$填$156 ÷ 5$的商对应的原数$156$（实际填写时，我们填的是使得等式成立的那个数，即$156$（乘以$5$前的数），理解上即是被除数应变为$156 × 5$，但填写时只填$156$以表示乘以$5$的操作），但根据题目意图，我们直接填$156$对应的乘以$5$的结果的原始数，即填$156$（实际是表示$156 × 5 ÷ (12 × 5)$中的$156$），第二个$□$填$5$。但简化填写为两个$□$分别填$156$对应的乘以的数（实际填写操作数为$5$所代表的被除数变化）和$5$，这里直接给出答案，第一个$□$填$156$（理解为被除数按比例变化的原数），实际填写时我们关注的是乘以的数，即第二个$□$正确填$5$，第一个$□$按题目逻辑填$156$（表示被除数按除数同样比例变化）。
对于 $384 ÷ 16 = (384 ÷ □) ÷ (16 ÷ □)$，两个$□$都应填相同的数以保持商不变，可以填$16$（或任何非零数，但$16$是最简选择，因为可以直接除以它），这样被除数和除数都除以了$16$，商不变。
对于 $225 ÷ 25 = (225 × □) ÷ (25 × 4)$，为了保持商不变，$225$需要乘以的数应与$25$乘以的数相对应，这里$25$乘以了$4$，所以$225$也应乘以$4$，即$□$填$4$。
(2) 这一部分考察的是商的变化规律当被除数或除数变化时。
① 如果甲数除以$2$，乙数不变，那么新的商就是原来的商除以$2$，即$80 ÷ 2 = 40$。
② 如果乙数除以$2$，甲数不变，那么新的商就是原来的商乘以$2$（因为除数变小了，商反而变大），即$80 × 2 = 160$。
③ 如果甲数除以$2$，乙数也除以$2$，那么商不变，因为被除数和除数都按同样的比例变化，即新的商仍然是$80$。
④ 如果甲数除以$2$，乙数乘$2$，那么新的商就是原来的商除以$2$再除以$2$（或乘以$\frac{1}{4}$），即$80 ÷ 2 ÷ 2 = 20$（或$80 × \frac{1}{4} = 20$）。
答案：
(1)
$70 ÷ 14 = (70 ÷ 2) ÷ (14 ÷ 2)$，$□$填$2$。
$156 ÷ 12 = (156 × 5) ÷ (12 × 5)$，第一个$□$填$156$（理解为被除数变化前的数，实际填写关注乘以的数），第二个$□$填$5$。
$384 ÷ 16 = (384 ÷ 16) ÷ (16 ÷ 16)$，两个$□$都填$16$。
$225 ÷ 25 = (225 × 4) ÷ (25 × 4)$，$□$填$4$。
(2)
① $40$
② $160$
③ $80$
④ $20$

2. 仔细观察下面的算式,说说你有什么发现,再用你发现的方法计算后面两题。
200÷25= (200×4)÷(25×4)= 800÷100= 8
我发现：______
______。
400÷25=
1000÷125=

答案： 解析：本题考查商的变化规律。通过观察给出的算式，可以发现当被除数和除数同时乘以一个相同的数时，商不变。这就是商不变的性质。这个性质可以帮助简化除法运算，特别是当除数是一个较大的数时，可以通过同时乘以一个适当的数，使得除数变为一个更易于计算的数（如100或1000等），从而简化计算过程。可以用此方法来计算后面两题。
答案：
我发现：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（$0$除外），商不变。
$400 ÷ 25$
$= (400 × 4) ÷ (25 × 4)$
$= 1600 ÷ 100$
$= 16$
$1000 ÷ 125$
$= (1000 × 8) ÷ (125 × 8)$
$= 8000 ÷ 1000$
$= 8$

找规律,直接写出得数。
111111÷3= 37037
222222÷3= ______
555555÷15= ______
666666÷18= ______

答案： 解析：
本题考察的是除法运算以及商的变化规律，同时涉及到找规律的能力。
首先，我们观察给出的第一个等式 111111 ÷ 3 = 37037，以此为基础来找出其他等式的答案。
对于 222222 ÷ 3，我们可以看到被除数是111111的两倍，而除数保持不变。根据商的变化规律，商也应该是37037的两倍，即 74074。
对于 555555 ÷ 15，我们可以将其看作111111的五倍除以3的五倍。由于被除数和除数都扩大了相同的倍数，商应该保持不变，但此处除数扩大了5倍，相当于原式111111 ÷ 3的商再除以5的“逆操作”（即乘以$\frac{5}{5}$，相当于没变），因此结果仍然是 37037。
对于 666666 ÷ 18，我们可以将其看作111111的六倍除以3的六倍。同样地，由于被除数和除数都扩大了相同的倍数，商仍然保持不变，在37037的基础上考虑实际除数3的六倍即18，相当于原式应该乘以$\frac{6}{6}$（即没变），再考虑到实际我们是在找规律，可以直接通过倍数关系得出结果为 37037。
答案：
222222 ÷ 3 = 74074
555555 ÷ 15 = 37037
666666 ÷ 18 = 37037