《2025年练习部分七年级数学上册沪教版五四制》

4. 因式分解：$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+1$.
(1)填空：$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+1= (x^{2}+3x)($$x^{2}+3x+2$$) + 1$；
(2)设$x^{2}+3x = a$,请继续完成上式的因式分解.
原式$=a(a+2)+1=a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}=(x^{2}+3x+1)^{2}$

答案： （1）$x^{2}+3x+2$. （2）原式$=a(a+2)+1=a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}=(x^{2}+3x+1)^{2}$.

5. 观察下列各等式从左到右的变形：
$\begin{aligned}x^{2}-2x + 4&= (x - 1)^{2}+3；\\x^{2}-2x + 4&= (x + 2)^{2}-6x 或 x^{2}-2x + 4= (x - 2)^{2}+2x；\\x^{2}-2x + 4&= \left (\frac{1}{2}x - 2\right )^{2}+\frac{3}{4}x^{2}.\end{aligned} $
不难发现,上述各等式分别选取了二次三项式$x^{2}-2x + 4$中的两项,将其配成一个整式的完全平方.
请根据上述思路,解决下面问题(其中$a$、$b$、$c$为有理数)：
(1)若$x^{2}+6x + a$是一个整式的完全平方,则$a$的值为9.
(2)若$9x^{2}+bx + 1$是一个整式的完全平方,则$b$的值为±6.
(3)若$cx^{4}+4x^{2}+4$是一个整式的完全平方,则$c$的值为1.
(4)因式分解：① $x^{4}+4$； ② $m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}$.
①$x^{4}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$.②$m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4})-m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2}+mn)\cdot(m^{2}+n^{2}-mn)$.

答案： （1）9. （2）$\pm 6$. （3）1.（4）①$x^{4}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$.②$m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4})-m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2}+mn)\cdot(m^{2}+n^{2}-mn)$.